Question Number 201595 by mokys last updated on 09/Dec/23
$$\left.\mathrm{1}\right)\:\:\mid\frac{\mathrm{3}+\mathrm{2}{x}}{\mathrm{3}{x}}\mid\:\leq\mathrm{1} \\ $$$$ \\ $$$$\left.\mathrm{2}\right)\:\mathrm{1}\leq\:\mid\:\frac{{x}−\mathrm{3}}{\mathrm{1}−\mathrm{2}{x}}\mid\leq\:\mathrm{2} \\ $$$$ \\ $$$$\left.\mathrm{3}\right)\:\frac{{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}{x}−\mathrm{35}}{{x}+\mathrm{2}}\:>\:\mathrm{0} \\ $$$$ \\ $$$$\left.\mathrm{4}\right)\:−\mathrm{1}\:\leq\:\frac{{x}+\mathrm{1}}{{x}−\mathrm{2}}\:\leq\mathrm{2} \\ $$
Answered by AST last updated on 09/Dec/23
$$\left.\mathrm{4}\right){x}>\mathrm{2}\Rightarrow−{x}+\mathrm{2}\leqslant{x}+\mathrm{1}\leqslant\mathrm{2}{x}−\mathrm{4}\Rightarrow{x}\geqslant\mathrm{5} \\ $$$${x}<\mathrm{2}\Rightarrow−{x}+\mathrm{2}\geqslant{x}+\mathrm{1}\geqslant\mathrm{2}{x}−\mathrm{4} \\ $$$$\Rightarrow{x}\leqslant\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\wedge{x}\leqslant\mathrm{5}\Rightarrow{x}\leqslant\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\Rightarrow{x}\in\left(−\infty,\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)\cup\left[\mathrm{5},+\infty\right) \\ $$
Answered by AST last updated on 09/Dec/23
$$\left.\mathrm{3}\right)\:{x}<−\mathrm{2}\Rightarrow{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}{x}−\mathrm{35}<\mathrm{0}\Rightarrow\left({x}+\mathrm{7}\right)\left({x}−\mathrm{5}\right)<\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow−\mathrm{7}<{x}<\mathrm{5}\Rightarrow{x}\left(\left[−\mathrm{7},\mathrm{2}\right)\right. \\ $$$${x}>−\mathrm{2}\Rightarrow{x}>\mathrm{5}\Rightarrow{x}\in\left(−\mathrm{7},\mathrm{2}\right)\cup\left(\mathrm{5},+\infty\right) \\ $$
Answered by shunmisaki007 last updated on 09/Dec/23
![1. ∣((3+2x)/(3x))∣≤1 ⇒ (((3+2x)/(3x)))^2 ≤1 ⇒ 9+12x+4x^2 ≤9x^2 ∣x≠0 ⇒ 5x^2 −12x−9≥0 ⇒ (5x+3)(x−3)≥0 ⇒ x≤−(3/5) and x≥3 ∴ x∈(−∞,−(3/5)]∪[3,∞) ★ 2. 1≤∣((x−3)/(1−2x))∣≤2 ⇒ 1≤(((x−3)/(1−2x)))^2 ≤4 ⇒ 1−4x+4x^2 ≤x^2 −6x+9≤4−16x+16x^2 ∣x≠(1/2) ⇒ 1−4x+4x^2 ≤x^2 −6x+9 and x^2 −6x+9≤4−16x+16x^2 ∣x≠(1/2) ⇒ 3x^2 +2x−8≤0 and 15x^2 −10x−5≥0 ⇒ (3x−4)(x+2)≤0 and 5(3x+1)(x−1)≥0 ⇒ x≤(4/3), x≥−2, x≤−(1/3) and x≥1 ∴ x∈[−2,−(1/3)]∪[1,(4/3)] ★ 3. ((x^2 +2x−35)/(x+2))>0 ⇒ (x^2 +2x−35)(x+2)>0 ∣x≠−2 ⇒ (x−5)(x+7)(x+2)>0 ⇒ x>5, x<−2 and x>−7 ∴ x∈(−7,−2)∪(5,∞) ★ 4. −1≤((x+1)/(x−2))≤2 ⇒ −1(x−2)^2 ≤(x+1)(x−2)≤2(x−2)^2 ∣x≠2 ⇒ −x^2 +4x−4≤x^2 −x−2 and x^2 −x−2≤2x^2 −8x+8 ⇒ 2x^2 −5x+2≥0 and x^2 −7x+10≥0 ⇒ (2x−1)(x−2)≥0 and (x−2)(x−5)≥0 ⇒ x≤(1/2), x≥2, x≤2 and x≥5 but x≠2 ∴ x∈(−∞,(1/2)]∪[5,∞) ★](https://www.tinkutara.com/question/Q201609.png)
$$\mathrm{1}.\:\mid\frac{\mathrm{3}+\mathrm{2}{x}}{\mathrm{3}{x}}\mid\leq\mathrm{1} \\ $$$$\Rightarrow\:\left(\frac{\mathrm{3}+\mathrm{2}{x}}{\mathrm{3}{x}}\right)^{\mathrm{2}} \leq\mathrm{1} \\ $$$$\Rightarrow\:\mathrm{9}+\mathrm{12}{x}+\mathrm{4}{x}^{\mathrm{2}} \leq\mathrm{9}{x}^{\mathrm{2}} \:\:\:\mid{x}\neq\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow\:\mathrm{5}{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{12}{x}−\mathrm{9}\geq\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow\:\left(\mathrm{5}{x}+\mathrm{3}\right)\left({x}−\mathrm{3}\right)\geq\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow\:{x}\leq−\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{5}}\:\mathrm{and}\:{x}\geq\mathrm{3} \\ $$$$\therefore\:{x}\in\left(−\infty,−\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{5}}\right]\cup\left[\mathrm{3},\infty\right)\:\bigstar \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{2}.\:\mathrm{1}\leq\mid\frac{{x}−\mathrm{3}}{\mathrm{1}−\mathrm{2}{x}}\mid\leq\mathrm{2} \\ $$$$\Rightarrow\:\mathrm{1}\leq\left(\frac{{x}−\mathrm{3}}{\mathrm{1}−\mathrm{2}{x}}\right)^{\mathrm{2}} \leq\mathrm{4} \\ $$$$\Rightarrow\:\mathrm{1}−\mathrm{4}{x}+\mathrm{4}{x}^{\mathrm{2}} \leq{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{6}{x}+\mathrm{9}\leq\mathrm{4}−\mathrm{16}{x}+\mathrm{16}{x}^{\mathrm{2}} \:\:\:\mid{x}\neq\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}} \\ $$$$\Rightarrow\:\mathrm{1}−\mathrm{4}{x}+\mathrm{4}{x}^{\mathrm{2}} \leq{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{6}{x}+\mathrm{9}\:\mathrm{and}\:{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{6}{x}+\mathrm{9}\leq\mathrm{4}−\mathrm{16}{x}+\mathrm{16}{x}^{\mathrm{2}} \:\:\:\mid{x}\neq\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}} \\ $$$$\Rightarrow\:\mathrm{3}{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}{x}−\mathrm{8}\leq\mathrm{0}\:\mathrm{and}\:\mathrm{15}{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{10}{x}−\mathrm{5}\geq\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow\:\left(\mathrm{3}{x}−\mathrm{4}\right)\left({x}+\mathrm{2}\right)\leq\mathrm{0}\:\mathrm{and}\:\mathrm{5}\left(\mathrm{3}{x}+\mathrm{1}\right)\left({x}−\mathrm{1}\right)\geq\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow\:{x}\leq\frac{\mathrm{4}}{\mathrm{3}},\:{x}\geq−\mathrm{2},\:{x}\leq−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\:\mathrm{and}\:{x}\geq\mathrm{1} \\ $$$$\therefore\:{x}\in\left[−\mathrm{2},−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\right]\cup\left[\mathrm{1},\frac{\mathrm{4}}{\mathrm{3}}\right]\:\bigstar \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{3}.\:\frac{{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}{x}−\mathrm{35}}{{x}+\mathrm{2}}>\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow\:\left({x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}{x}−\mathrm{35}\right)\left({x}+\mathrm{2}\right)>\mathrm{0}\:\:\:\mid{x}\neq−\mathrm{2} \\ $$$$\Rightarrow\:\left({x}−\mathrm{5}\right)\left({x}+\mathrm{7}\right)\left({x}+\mathrm{2}\right)>\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow\:{x}>\mathrm{5},\:{x}<−\mathrm{2}\:\mathrm{and}\:{x}>−\mathrm{7} \\ $$$$\therefore\:{x}\in\left(−\mathrm{7},−\mathrm{2}\right)\cup\left(\mathrm{5},\infty\right)\:\bigstar \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{4}.\:−\mathrm{1}\leq\frac{{x}+\mathrm{1}}{{x}−\mathrm{2}}\leq\mathrm{2} \\ $$$$\Rightarrow\:−\mathrm{1}\left({x}−\mathrm{2}\right)^{\mathrm{2}} \leq\left({x}+\mathrm{1}\right)\left({x}−\mathrm{2}\right)\leq\mathrm{2}\left({x}−\mathrm{2}\right)^{\mathrm{2}} \:\:\:\mid{x}\neq\mathrm{2} \\ $$$$\Rightarrow\:−{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{4}{x}−\mathrm{4}\leq{x}^{\mathrm{2}} −{x}−\mathrm{2}\:\mathrm{and}\:{x}^{\mathrm{2}} −{x}−\mathrm{2}\leq\mathrm{2}{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{8}{x}+\mathrm{8} \\ $$$$\Rightarrow\:\mathrm{2}{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{5}{x}+\mathrm{2}\geq\mathrm{0}\:\mathrm{and}\:{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{7}{x}+\mathrm{10}\geq\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow\:\left(\mathrm{2}{x}−\mathrm{1}\right)\left({x}−\mathrm{2}\right)\geq\mathrm{0}\:\mathrm{and}\:\left({x}−\mathrm{2}\right)\left({x}−\mathrm{5}\right)\geq\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow\:{x}\leq\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}},\:{x}\geq\mathrm{2},\:{x}\leq\mathrm{2}\:\:\mathrm{and}\:{x}\geq\mathrm{5} \\ $$$$\mathrm{but}\:{x}\neq\mathrm{2} \\ $$$$\therefore\:{x}\in\left(−\infty,\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right]\cup\left[\mathrm{5},\infty\right)\:\bigstar \\ $$
Commented by AST last updated on 09/Dec/23
$$\mathrm{3}\:{is}\:{wrong},{try}\:{x}<−\mathrm{7}\:\left({e}.{g}.\:−\mathrm{8}\right) \\ $$
Commented by shunmisaki007 last updated on 09/Dec/23
$$\mathrm{I}'\mathrm{ve}\:\mathrm{corrected}\:\mathrm{it}.\:\mathrm{Thanks}. \\ $$