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Question Number 202604 by MATHEMATICSAM last updated on 30/Dec/23
If x = (((√(a + 1)) + (√(a − 1)))/( (√(a + 1)) − (√(a − 1)))) and y = (((√(a + 1)) − (√(a − 1)))/( (√(a + 1)) + (√(a − 1)))) then show that ((x^2 − xy + y^2 )/(x^2 + xy + y^2 )) = ((4a^2 − 3)/(4a^2 − 1)) .
$$\mathrm{If}\:{x}\:=\:\frac{\sqrt{{a}\:+\:\mathrm{1}}\:+\:\sqrt{{a}\:−\:\mathrm{1}}}{\:\sqrt{{a}\:+\:\mathrm{1}}\:−\:\sqrt{{a}\:−\:\mathrm{1}}}\:\mathrm{and}\: \\ $$$${y}\:=\:\frac{\sqrt{{a}\:+\:\mathrm{1}}\:−\:\sqrt{{a}\:−\:\mathrm{1}}}{\:\sqrt{{a}\:+\:\mathrm{1}}\:+\:\sqrt{{a}\:−\:\mathrm{1}}}\:\mathrm{then}\:\mathrm{show}\:\mathrm{that} \\ $$$$\frac{{x}^{\mathrm{2}} \:−\:{xy}\:+\:{y}^{\mathrm{2}} }{{x}^{\mathrm{2}} \:+\:{xy}\:+\:{y}^{\mathrm{2}} }\:=\:\frac{\mathrm{4}{a}^{\mathrm{2}} \:−\:\mathrm{3}}{\mathrm{4}{a}^{\mathrm{2}} \:−\:\mathrm{1}}\:. \\ $$
Answered by Rasheed.Sindhi last updated on 30/Dec/23
x = (((√(a + 1)) + (√(a − 1)) )/( (√(a + 1)) − (√(a − 1)))) =(A/B) , y=(B/A) A+B=((√(a + 1)) + (√(a − 1)) )+((√(a + 1)) − (√(a − 1)) ) =2(√(a+1)) AB=((√(a + 1)) + (√(a − 1)) )((√(a + 1)) − (√(a − 1)) ) =((√(a + 1)) )^2 −( (√(a − 1)) )^2 =(a+1)−(a−1)=2 ((x^2 − xy + y^2 )/(x^2 + xy + y^2 )) = ((4a^2 − 3)/(4a^2 − 1)) lhs:((x^2 − xy + y^2 )/(x^2 + xy + y^2 ))=(((x+y)^2 −3xy)/((x+y)^2 −xy)) x+y=(A/B)+(B/A)=((A^2 +B^2 )/(AB))=(((A+B)^2 −2AB)/(AB)) =((( 2(√(a+1)) )^2 −2(2))/2)=2(a+1)−2=2a xy=(A/B)×(B/A)=1 =(((2a)^2 −3(1))/((2a)^2 −(1)))=((4a^2 −3)/(4a^2 −1))=rhs
$${x}\:=\:\frac{\sqrt{{a}\:+\:\mathrm{1}}\:+\:\sqrt{{a}\:−\:\mathrm{1}}\:}{\:\sqrt{{a}\:+\:\mathrm{1}}\:−\:\sqrt{{a}\:−\:\mathrm{1}}}\:=\frac{{A}}{{B}}\:\:,\:{y}=\frac{{B}}{{A}} \\ $$$${A}+{B}=\left(\sqrt{{a}\:+\:\mathrm{1}}\:+\:\sqrt{{a}\:−\:\mathrm{1}}\:\right)+\left(\sqrt{{a}\:+\:\mathrm{1}}\:−\:\sqrt{{a}\:−\:\mathrm{1}}\:\right) \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\mathrm{2}\sqrt{{a}+\mathrm{1}}\: \\ $$$$\:{AB}=\left(\sqrt{{a}\:+\:\mathrm{1}}\:+\:\sqrt{{a}\:−\:\mathrm{1}}\:\right)\left(\sqrt{{a}\:+\:\mathrm{1}}\:−\:\sqrt{{a}\:−\:\mathrm{1}}\:\right) \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\left(\sqrt{{a}\:+\:\mathrm{1}}\:\right)^{\mathrm{2}} \:−\left(\:\sqrt{{a}\:−\:\mathrm{1}}\:\right)^{\mathrm{2}} =\left({a}+\mathrm{1}\right)−\left({a}−\mathrm{1}\right)=\mathrm{2} \\ $$$$\: \\ $$$$\frac{{x}^{\mathrm{2}} \:−\:{xy}\:+\:{y}^{\mathrm{2}} }{{x}^{\mathrm{2}} \:+\:{xy}\:+\:{y}^{\mathrm{2}} }\:=\:\frac{\mathrm{4}{a}^{\mathrm{2}} \:−\:\mathrm{3}}{\mathrm{4}{a}^{\mathrm{2}} \:−\:\mathrm{1}} \\ $$$${lhs}:\frac{{x}^{\mathrm{2}} \:−\:{xy}\:+\:{y}^{\mathrm{2}} }{{x}^{\mathrm{2}} \:+\:{xy}\:+\:{y}^{\mathrm{2}} }=\frac{\left({x}+{y}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{3}{xy}}{\left({x}+{y}\right)^{\mathrm{2}} −{xy}} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:{x}+{y}=\frac{{A}}{{B}}+\frac{{B}}{{A}}=\frac{{A}^{\mathrm{2}} +{B}^{\mathrm{2}} }{{AB}}=\frac{\left({A}+{B}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}{AB}}{{AB}} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\frac{\left(\:\mathrm{2}\sqrt{{a}+\mathrm{1}}\:\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}\left(\mathrm{2}\right)}{\mathrm{2}}=\mathrm{2}\left({a}+\mathrm{1}\right)−\mathrm{2}=\mathrm{2}{a} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:{xy}=\frac{{A}}{{B}}×\frac{{B}}{{A}}=\mathrm{1} \\ $$$$\:\:\:\:\:=\frac{\left(\mathrm{2}{a}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{3}\left(\mathrm{1}\right)}{\left(\mathrm{2}{a}\right)^{\mathrm{2}} −\left(\mathrm{1}\right)}=\frac{\mathrm{4}{a}^{\mathrm{2}} −\mathrm{3}}{\mathrm{4}{a}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}={rhs} \\ $$$$ \\ $$

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