Question Number 137930 by mnjuly1970 last updated on 08/Apr/21
$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:…..{nice}\:\:…\:…\:{calculus}….. \\ $$$$\:\:\:\:\:{calculation}\:{of}::: \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\boldsymbol{\phi}=\int_{\mathrm{2}} ^{\:\mathrm{6}} \:\frac{\mathrm{1}+\left(\sqrt[{\mathrm{3}}]{\left({x}−\mathrm{2}\right)\left({x}−\mathrm{4}\right)\left({x}−\mathrm{6}\right)}\:\right){cos}^{\mathrm{2021}} \left(\pi{x}\right)}{{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{8}{x}+\mathrm{20}}{dx}=? \\ $$$$\:\:\:\:\:{solution}:: \\ $$$$\:\:\:\:\:{x}−\mathrm{4}={t}\:\Rightarrow\left\{_{\:{x}=\mathrm{6}\:\Rightarrow\:{t}=\mathrm{2}} ^{{x}=\mathrm{2}\:\Rightarrow{t}=−\mathrm{2}} \right. \\ $$$$\:\:\:\:\boldsymbol{\phi}=\int_{−\mathrm{2}} ^{\:\mathrm{2}} \frac{\mathrm{1}+\sqrt[{\mathrm{3}}]{\left({t}+\mathrm{2}\right)\left({t}\right)\left({t}−\mathrm{2}\right)}\:{cos}^{\mathrm{2021}} \left(\pi{t}\right)}{{t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{4}}{dt} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:=\int_{−\mathrm{2}} ^{\:\mathrm{2}} \frac{\mathrm{1}}{{t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}^{\mathrm{2}} }{dt}\:+\int_{−\mathrm{2}} ^{\:\mathrm{2}} \left\{\frac{\sqrt[{\mathrm{3}}]{{t}^{\mathrm{3}} −\mathrm{4}{t}}\:\:\:}{{t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{4}}{cos}^{\mathrm{2021}} \left(\pi{t}\right)={odd}\:{function}\right\}{dt} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\mathrm{2}\left[\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\:{Arctan}\left(\frac{{t}}{\mathrm{2}}\right)\right]_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{2}} +\:\mathrm{0}=\frac{\pi}{\mathrm{4}} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:…….\:\:\boldsymbol{\phi}=\frac{\pi}{\mathrm{4}}\:…… \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:{adaapted}\:{based}\:{on}\:.. \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:{Q}:\:\mathrm{137891}\:…{mr}\:\:{bobhans}…. \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:{solved}\:{by}\:…{mr}\:..{bemath}.. \\ $$
Commented by benjo_mathlover last updated on 08/Apr/21
$${nice}… \\ $$