is-x-e-x-dx-n-1-k-1-n-2-2k-1-x-n-x-e-x-C-

Question Number 203301 by MathematicalUser2357 last updated on 15/Jan/24

is ∫(√x)e^(−x) dx =Σ_(n=1) ^∞ ((Π_(k=1) ^n (2/(2k+1)))x^n (√x)e^(−x) )+C?

$$\mathrm{is} \\ $$$$\int\sqrt{{x}}{e}^{−{x}} {dx} \\ $$$$=\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\left(\left(\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\prod}}\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{2}{k}+\mathrm{1}}\right){x}^{{n}} \sqrt{{x}}{e}^{−{x}} \right)+{C}? \\ $$

Answered by witcher3 last updated on 15/Jan/24

∫x^a e^(−x) dx=(x^(n+1) /(n+1))e^(−x) +(1/(n+1))∫x^(n+1) e^(−x) I_n =((x^(n+1) e^(−x) )/(n+1))+(1/(n+1))I_(n+1) I_n =(1/(n+1))(x^(n+1) e^(−x) +(1/(n+2))(x^(n+2) e^(−x) +(1/(n+3))(x^(n+3) e^(−x) +(1/(n+4))I_(n+4) +....) Σ_(m≥1) (Π_(k=1) ^m (1/((n+k))) )x^(n+m) e^(−x) +c ∫(√x)e^(−x) dx;n=(1/2) =Σ_(n≥1) (Π_(k=1) ^n (1/(((1/2)+k))))x^((1/2)+n) e^(−x) =Σ_(n≥1) (Π_(k=1) ^n (2/(k+2)))x^n (√x)e^(−x) +c

$$\int\mathrm{x}^{\mathrm{a}} \mathrm{e}^{−\mathrm{x}} \mathrm{dx}=\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} }{\mathrm{n}+\mathrm{1}}\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} +\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}+\mathrm{1}}\int\mathrm{x}^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} \mathrm{e}^{−\mathrm{x}} \\ $$$$\mathrm{I}_{\mathrm{n}} =\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} \mathrm{e}^{−\mathrm{x}} }{\mathrm{n}+\mathrm{1}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}+\mathrm{1}}\mathrm{I}_{\mathrm{n}+\mathrm{1}} \\ $$$$\mathrm{I}_{\mathrm{n}} =\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}+\mathrm{1}}\left(\mathrm{x}^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} \mathrm{e}^{−\mathrm{x}} +\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}+\mathrm{2}}\left(\mathrm{x}^{\mathrm{n}+\mathrm{2}} \mathrm{e}^{−\mathrm{x}} +\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}+\mathrm{3}}\left(\mathrm{x}^{\mathrm{n}+\mathrm{3}} \mathrm{e}^{−\mathrm{x}} +\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}+\mathrm{4}}\mathrm{I}_{\mathrm{n}+\mathrm{4}} +….\right)\right.\right. \\ $$$$\underset{\mathrm{m}\geqslant\mathrm{1}} {\sum}\left(\underset{\mathrm{k}=\mathrm{1}} {\overset{\mathrm{m}} {\prod}}\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{n}+\mathrm{k}\right)}\:\right)\mathrm{x}^{\mathrm{n}+\mathrm{m}} \mathrm{e}^{−\mathrm{x}} +\mathrm{c} \\ $$$$\int\sqrt{\mathrm{x}}\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} \mathrm{dx};\mathrm{n}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}} \\ $$$$=\underset{\mathrm{n}\geqslant\mathrm{1}} {\sum}\left(\underset{\mathrm{k}=\mathrm{1}} {\overset{\mathrm{n}} {\prod}}\frac{\mathrm{1}}{\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}+\mathrm{k}\right)}\right)\mathrm{x}^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}+\mathrm{n}} \mathrm{e}^{−\mathrm{x}} =\underset{\mathrm{n}\geqslant\mathrm{1}} {\sum}\left(\underset{\mathrm{k}=\mathrm{1}} {\overset{\mathrm{n}} {\prod}}\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{k}+\mathrm{2}}\right)\mathrm{x}^{\mathrm{n}} \sqrt{\mathrm{x}}\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} +\mathrm{c} \\ $$$$ \\ $$

Facebook Tweet Pin

is-x-e-x-dx-n-1-k-1-n-2-2k-1-x-n-x-e-x-C-

Leave a Reply Cancel reply