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Question-203387

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Question Number 203387 by Noorzai last updated on 18/Jan/24
Answered by Rasheed.Sindhi last updated on 18/Jan/24
S=((Σ_(n=1) ^(99) (√(10+(√n))) )/(Σ_(n=1) ^(99) (√(10−(√n))) )) S=((Σ_(n=1) ^(99) (((√(100−n)) )/( (√(10−(√n))))))/(Σ_(n=1) ^(99) (((√(100−n)) )/( (√(10+(√n))))) ))
$$\mathrm{S}=\frac{\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\mathrm{99}} {\sum}}\sqrt{\mathrm{10}+\sqrt{{n}}}\:}{\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\mathrm{99}} {\sum}}\sqrt{\mathrm{10}−\sqrt{{n}}}\:} \\ $$$$\mathrm{S}=\frac{\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\mathrm{99}} {\sum}}\frac{\sqrt{\mathrm{100}−{n}}\:}{\:\sqrt{\mathrm{10}−\sqrt{{n}}}}}{\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\mathrm{99}} {\sum}}\frac{\sqrt{\mathrm{100}−{n}}\:}{\:\sqrt{\mathrm{10}+\sqrt{{n}}}}\:} \\ $$
Answered by mr W last updated on 18/Jan/24
((√(10+(√k)))−(√(10−(√k))))^2 =2(10−(√(100−k))) (√(10+(√k)))−(√(10−(√k)))=(√2)(√(10−(√(100−k)))) Σ_(k=1) ^(99) (√(10+(√k)))−Σ_(k=1) ^(99) (√(10−(√k)))=(√2)Σ_(k=1) ^(99) (√(10−(√(100−k)))) Σ_(k=1) ^(99) (√(10+(√k)))−Σ_(k=1) ^(99) (√(10−(√k)))=(√2)Σ_(k=1) ^(99) (√(10−(√k))) Σ_(k=1) ^(99) (√(10+(√k)))=((√2)+1)Σ_(k=1) ^(99) (√(10−(√k))) ((Σ_(k=1) ^(99) (√(10+(√k))))/(Σ_(k=1) ^(99) (√(10−(√k)))))=(√2)+1 ✓
$$\left(\sqrt{\mathrm{10}+\sqrt{{k}}}−\sqrt{\mathrm{10}−\sqrt{{k}}}\right)^{\mathrm{2}} =\mathrm{2}\left(\mathrm{10}−\sqrt{\mathrm{100}−{k}}\right) \\ $$$$\sqrt{\mathrm{10}+\sqrt{{k}}}−\sqrt{\mathrm{10}−\sqrt{{k}}}=\sqrt{\mathrm{2}}\sqrt{\mathrm{10}−\sqrt{\mathrm{100}−{k}}} \\ $$$$\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{\mathrm{99}} {\sum}}\sqrt{\mathrm{10}+\sqrt{{k}}}−\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{\mathrm{99}} {\sum}}\sqrt{\mathrm{10}−\sqrt{{k}}}=\sqrt{\mathrm{2}}\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{\mathrm{99}} {\sum}}\sqrt{\mathrm{10}−\sqrt{\mathrm{100}−{k}}} \\ $$$$\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{\mathrm{99}} {\sum}}\sqrt{\mathrm{10}+\sqrt{{k}}}−\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{\mathrm{99}} {\sum}}\sqrt{\mathrm{10}−\sqrt{{k}}}=\sqrt{\mathrm{2}}\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{\mathrm{99}} {\sum}}\sqrt{\mathrm{10}−\sqrt{{k}}} \\ $$$$\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{\mathrm{99}} {\sum}}\sqrt{\mathrm{10}+\sqrt{{k}}}=\left(\sqrt{\mathrm{2}}+\mathrm{1}\right)\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{\mathrm{99}} {\sum}}\sqrt{\mathrm{10}−\sqrt{{k}}} \\ $$$$\frac{\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{\mathrm{99}} {\sum}}\sqrt{\mathrm{10}+\sqrt{{k}}}}{\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{\mathrm{99}} {\sum}}\sqrt{\mathrm{10}−\sqrt{{k}}}}=\sqrt{\mathrm{2}}+\mathrm{1}\:\checkmark \\ $$
Answered by Rasheed.Sindhi last updated on 18/Jan/24
S=(((√(10+(√1))) +(√(10+(√2))) +(√(10+(√3))) +...+(√(10+(√(99)))) )/( (√(10−(√1))) +(√(10−(√2))) +(√(10−(√3))) +...+(√(10−(√(99)))) )) S=(( (((√(100−1)) )/( (√(10−(√1))) )) +(((√(100−2)) )/( (√(10−(√2))) ))+(((√(100−3)) )/( (√(10−(√3))) ))+...+(((√(100−99)) )/( (√(10−(√(99)))) )) )/( (((√(100−1)) )/( (√(10+(√1))) )) +(((√(100−2)) )/( (√(10+(√2))) ))+(((√(100−3)) )/( (√(10+(√3))) ))+...+(((√(100−99)) )/( (√(10+(√(99)))) )))) S=(( (((√(99)) )/( (√(10−(√1))) )) +(((√(98)) )/( (√(10−(√2))) ))+(((√(97)) )/( (√(10−(√3))) ))+...+(((√1) )/( (√(10−(√(99)))) )) )/( (((√(99)) )/( (√(10+(√1))) )) +(((√(98)) )/( (√(10+(√2))) ))+(((√(97)) )/( (√(10+(√3))) ))+...+(((√1) )/( (√(10+(√(99)))) )))) S+1=(( ((((√(99)) )/( (√(10−(√1))) ))+ (((√(99)) )/( (√(10+(√1))) ))) +((((√(98)) )/( (√(10−(√2))) ))+(((√(98)) )/( (√(10+(√2))) )))+((((√(97)) )/( (√(10−(√3))) ))+(((√(97)) )/( (√(10+(√3))) )))+...+((((√1) )/( (√(10−(√(99)))) ))+(((√1) )/( (√(10+(√(99)))) ))) )/( (((√(99)) )/( (√(10+(√1))) )) +(((√(98)) )/( (√(10+(√2))) ))+(((√(97)) )/( (√(10+(√3))) ))+...+(((√1) )/( (√(10+(√(99)))) )))) S+1=(( (√(99))(((1 )/( (√(10−(√1))) ))+ ((1 )/( (√(10+(√1))) ))) +(√(98))(((1 )/( (√(10−(√2))) ))+((1 )/( (√(10+(√2))) )))+(√(97))(((1 )/( (√(10−(√3))) ))+((1 )/( (√(10+(√3))) )))+...+(√1)(((1 )/( (√(10−(√(99)))) ))+((1 )/( (√(10+(√(99)))) ))) )/( (((√(99)) )/( (√(10+(√1))) )) +(((√(98)) )/( (√(10+(√2))) ))+(((√(97)) )/( (√(10+(√3))) ))+...+(((√1) )/( (√(10+(√(99)))) )))) S+1=(( (√(99))((((√(10+(√1))) +(√(10−(√1))) )/( (√(100−1)) ))) +(√(98))((((√(10+(√2))) +(√(10−(√2))) )/( (√(100−2)) )))+...+(√1)((((√(10+(√(99)))) +(√(10−(√(99)))) )/( (√(100−99)) ))) )/( (((√(99)) )/( (√(10+(√1))) )) +(((√(98)) )/( (√(10+(√2))) ))+(((√(97)) )/( (√(10+(√3))) ))+...+(((√1) )/( (√(10+(√(99)))) )))) S+1=(( ((√(10+(√1))) +(√(10−(√1))) ) +((√(10+(√2))) +(√(10−(√2))) )+...+((√(10+(√(99)))) +(√(10−(√(99)))) ) )/( (((√(99)) )/( (√(10+(√1))) )) +(((√(98)) )/( (√(10+(√2))) ))+(((√(97)) )/( (√(10+(√3))) ))+...+(((√1) )/( (√(10+(√(99)))) )))) S−1=(( ((((√(99)) )/( (√(10−(√1))) ))− (((√(99)) )/( (√(10+(√1))) ))) +((((√(98)) )/( (√(10−(√2))) ))−(((√(98)) )/( (√(10+(√2))) )))+((((√(97)) )/( (√(10−(√3))) ))−(((√(97)) )/( (√(10+(√3))) )))+...+((((√1) )/( (√(10−(√(99)))) ))−(((√1) )/( (√(10+(√(99)))) ))) )/( (((√(99)) )/( (√(10+(√1))) )) +(((√(98)) )/( (√(10+(√2))) ))+(((√(97)) )/( (√(10+(√3))) ))+...+(((√1) )/( (√(10+(√(99)))) ))))
$$\mathrm{S}=\frac{\sqrt{\mathrm{10}+\sqrt{\mathrm{1}}}\:+\sqrt{\mathrm{10}+\sqrt{\mathrm{2}}}\:+\sqrt{\mathrm{10}+\sqrt{\mathrm{3}}}\:+…+\sqrt{\mathrm{10}+\sqrt{\mathrm{99}}}\:\:}{\:\sqrt{\mathrm{10}−\sqrt{\mathrm{1}}}\:+\sqrt{\mathrm{10}−\sqrt{\mathrm{2}}}\:+\sqrt{\mathrm{10}−\sqrt{\mathrm{3}}}\:+…+\sqrt{\mathrm{10}−\sqrt{\mathrm{99}}}\:} \\ $$$$\mathrm{S}=\frac{\:\:\:\:\:\:\frac{\sqrt{\mathrm{100}−\mathrm{1}}\:}{\:\sqrt{\mathrm{10}−\sqrt{\mathrm{1}}}\:}\:+\frac{\sqrt{\mathrm{100}−\mathrm{2}}\:}{\:\sqrt{\mathrm{10}−\sqrt{\mathrm{2}}}\:}+\frac{\sqrt{\mathrm{100}−\mathrm{3}}\:}{\:\sqrt{\mathrm{10}−\sqrt{\mathrm{3}}}\:}+…+\frac{\sqrt{\mathrm{100}−\mathrm{99}}\:}{\:\sqrt{\mathrm{10}−\sqrt{\mathrm{99}}}\:}\:\:\:\:\:\:}{\:\:\:\:\:\:\:\frac{\sqrt{\mathrm{100}−\mathrm{1}}\:}{\:\sqrt{\mathrm{10}+\sqrt{\mathrm{1}}}\:}\:+\frac{\sqrt{\mathrm{100}−\mathrm{2}}\:}{\:\sqrt{\mathrm{10}+\sqrt{\mathrm{2}}}\:}+\frac{\sqrt{\mathrm{100}−\mathrm{3}}\:}{\:\sqrt{\mathrm{10}+\sqrt{\mathrm{3}}}\:}+…+\frac{\sqrt{\mathrm{100}−\mathrm{99}}\:}{\:\sqrt{\mathrm{10}+\sqrt{\mathrm{99}}}\:}} \\ $$$$\mathrm{S}=\frac{\:\:\:\:\:\:\frac{\sqrt{\mathrm{99}}\:}{\:\sqrt{\mathrm{10}−\sqrt{\mathrm{1}}}\:}\:+\frac{\sqrt{\mathrm{98}}\:}{\:\sqrt{\mathrm{10}−\sqrt{\mathrm{2}}}\:}+\frac{\sqrt{\mathrm{97}}\:}{\:\sqrt{\mathrm{10}−\sqrt{\mathrm{3}}}\:}+…+\frac{\sqrt{\mathrm{1}}\:}{\:\sqrt{\mathrm{10}−\sqrt{\mathrm{99}}}\:}\:\:\:\:\:\:}{\:\:\:\:\:\:\:\frac{\sqrt{\mathrm{99}}\:}{\:\sqrt{\mathrm{10}+\sqrt{\mathrm{1}}}\:}\:+\frac{\sqrt{\mathrm{98}}\:}{\:\sqrt{\mathrm{10}+\sqrt{\mathrm{2}}}\:}+\frac{\sqrt{\mathrm{97}}\:}{\:\sqrt{\mathrm{10}+\sqrt{\mathrm{3}}}\:}+…+\frac{\sqrt{\mathrm{1}}\:}{\:\sqrt{\mathrm{10}+\sqrt{\mathrm{99}}}\:}} \\ $$$$\mathrm{S}+\mathrm{1}=\frac{\:\:\:\:\:\:\left(\frac{\sqrt{\mathrm{99}}\:}{\:\sqrt{\mathrm{10}−\sqrt{\mathrm{1}}}\:}+\:\frac{\sqrt{\mathrm{99}}\:}{\:\sqrt{\mathrm{10}+\sqrt{\mathrm{1}}}\:}\right)\:+\left(\frac{\sqrt{\mathrm{98}}\:}{\:\sqrt{\mathrm{10}−\sqrt{\mathrm{2}}}\:}+\frac{\sqrt{\mathrm{98}}\:}{\:\sqrt{\mathrm{10}+\sqrt{\mathrm{2}}}\:}\right)+\left(\frac{\sqrt{\mathrm{97}}\:}{\:\sqrt{\mathrm{10}−\sqrt{\mathrm{3}}}\:}+\frac{\sqrt{\mathrm{97}}\:}{\:\sqrt{\mathrm{10}+\sqrt{\mathrm{3}}}\:}\right)+…+\left(\frac{\sqrt{\mathrm{1}}\:}{\:\sqrt{\mathrm{10}−\sqrt{\mathrm{99}}}\:}+\frac{\sqrt{\mathrm{1}}\:}{\:\sqrt{\mathrm{10}+\sqrt{\mathrm{99}}}\:}\right)\:\:\:\:\:\:}{\:\:\:\:\:\:\:\frac{\sqrt{\mathrm{99}}\:}{\:\sqrt{\mathrm{10}+\sqrt{\mathrm{1}}}\:}\:+\frac{\sqrt{\mathrm{98}}\:}{\:\sqrt{\mathrm{10}+\sqrt{\mathrm{2}}}\:}+\frac{\sqrt{\mathrm{97}}\:}{\:\sqrt{\mathrm{10}+\sqrt{\mathrm{3}}}\:}+…+\frac{\sqrt{\mathrm{1}}\:}{\:\sqrt{\mathrm{10}+\sqrt{\mathrm{99}}}\:}} \\ $$$$\mathrm{S}+\mathrm{1}=\frac{\:\:\:\:\:\:\sqrt{\mathrm{99}}\left(\frac{\mathrm{1}\:}{\:\sqrt{\mathrm{10}−\sqrt{\mathrm{1}}}\:}+\:\frac{\mathrm{1}\:}{\:\sqrt{\mathrm{10}+\sqrt{\mathrm{1}}}\:}\right)\:+\sqrt{\mathrm{98}}\left(\frac{\mathrm{1}\:}{\:\sqrt{\mathrm{10}−\sqrt{\mathrm{2}}}\:}+\frac{\mathrm{1}\:}{\:\sqrt{\mathrm{10}+\sqrt{\mathrm{2}}}\:}\right)+\sqrt{\mathrm{97}}\left(\frac{\mathrm{1}\:}{\:\sqrt{\mathrm{10}−\sqrt{\mathrm{3}}}\:}+\frac{\mathrm{1}\:}{\:\sqrt{\mathrm{10}+\sqrt{\mathrm{3}}}\:}\right)+…+\sqrt{\mathrm{1}}\left(\frac{\mathrm{1}\:}{\:\sqrt{\mathrm{10}−\sqrt{\mathrm{99}}}\:}+\frac{\mathrm{1}\:}{\:\sqrt{\mathrm{10}+\sqrt{\mathrm{99}}}\:}\right)\:\:\:\:\:\:}{\:\:\:\:\:\:\:\frac{\sqrt{\mathrm{99}}\:}{\:\sqrt{\mathrm{10}+\sqrt{\mathrm{1}}}\:}\:+\frac{\sqrt{\mathrm{98}}\:}{\:\sqrt{\mathrm{10}+\sqrt{\mathrm{2}}}\:}+\frac{\sqrt{\mathrm{97}}\:}{\:\sqrt{\mathrm{10}+\sqrt{\mathrm{3}}}\:}+…+\frac{\sqrt{\mathrm{1}}\:}{\:\sqrt{\mathrm{10}+\sqrt{\mathrm{99}}}\:}} \\ $$$$\mathrm{S}+\mathrm{1}=\frac{\:\:\:\:\:\:\sqrt{\mathrm{99}}\left(\frac{\sqrt{\mathrm{10}+\sqrt{\mathrm{1}}}\:+\sqrt{\mathrm{10}−\sqrt{\mathrm{1}}}\:\:}{\:\sqrt{\mathrm{100}−\mathrm{1}}\:\:\:\:}\right)\:+\sqrt{\mathrm{98}}\left(\frac{\sqrt{\mathrm{10}+\sqrt{\mathrm{2}}}\:+\sqrt{\mathrm{10}−\sqrt{\mathrm{2}}}\:\:}{\:\sqrt{\mathrm{100}−\mathrm{2}}\:}\right)+…+\sqrt{\mathrm{1}}\left(\frac{\sqrt{\mathrm{10}+\sqrt{\mathrm{99}}}\:+\sqrt{\mathrm{10}−\sqrt{\mathrm{99}}}\:\:}{\:\sqrt{\mathrm{100}−\mathrm{99}}\:}\right)\:\:\:\:\:\:}{\:\:\:\:\:\:\:\frac{\sqrt{\mathrm{99}}\:}{\:\sqrt{\mathrm{10}+\sqrt{\mathrm{1}}}\:}\:+\frac{\sqrt{\mathrm{98}}\:}{\:\sqrt{\mathrm{10}+\sqrt{\mathrm{2}}}\:}+\frac{\sqrt{\mathrm{97}}\:}{\:\sqrt{\mathrm{10}+\sqrt{\mathrm{3}}}\:}+…+\frac{\sqrt{\mathrm{1}}\:}{\:\sqrt{\mathrm{10}+\sqrt{\mathrm{99}}}\:}} \\ $$$$\mathrm{S}+\mathrm{1}=\frac{\:\:\:\:\:\:\left(\sqrt{\mathrm{10}+\sqrt{\mathrm{1}}}\:+\sqrt{\mathrm{10}−\sqrt{\mathrm{1}}}\:\right)\:+\left(\sqrt{\mathrm{10}+\sqrt{\mathrm{2}}}\:+\sqrt{\mathrm{10}−\sqrt{\mathrm{2}}}\:\:\right)+…+\left(\sqrt{\mathrm{10}+\sqrt{\mathrm{99}}}\:+\sqrt{\mathrm{10}−\sqrt{\mathrm{99}}}\:\:\right)\:\:\:\:\:\:}{\:\:\:\:\:\:\:\frac{\sqrt{\mathrm{99}}\:}{\:\sqrt{\mathrm{10}+\sqrt{\mathrm{1}}}\:}\:+\frac{\sqrt{\mathrm{98}}\:}{\:\sqrt{\mathrm{10}+\sqrt{\mathrm{2}}}\:}+\frac{\sqrt{\mathrm{97}}\:}{\:\sqrt{\mathrm{10}+\sqrt{\mathrm{3}}}\:}+…+\frac{\sqrt{\mathrm{1}}\:}{\:\sqrt{\mathrm{10}+\sqrt{\mathrm{99}}}\:}} \\ $$$$ \\ $$$$ \\ $$$$ \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{S}−\mathrm{1}=\frac{\:\:\:\:\:\:\left(\frac{\sqrt{\mathrm{99}}\:}{\:\sqrt{\mathrm{10}−\sqrt{\mathrm{1}}}\:}−\:\frac{\sqrt{\mathrm{99}}\:}{\:\sqrt{\mathrm{10}+\sqrt{\mathrm{1}}}\:}\right)\:+\left(\frac{\sqrt{\mathrm{98}}\:}{\:\sqrt{\mathrm{10}−\sqrt{\mathrm{2}}}\:}−\frac{\sqrt{\mathrm{98}}\:}{\:\sqrt{\mathrm{10}+\sqrt{\mathrm{2}}}\:}\right)+\left(\frac{\sqrt{\mathrm{97}}\:}{\:\sqrt{\mathrm{10}−\sqrt{\mathrm{3}}}\:}−\frac{\sqrt{\mathrm{97}}\:}{\:\sqrt{\mathrm{10}+\sqrt{\mathrm{3}}}\:}\right)+…+\left(\frac{\sqrt{\mathrm{1}}\:}{\:\sqrt{\mathrm{10}−\sqrt{\mathrm{99}}}\:}−\frac{\sqrt{\mathrm{1}}\:}{\:\sqrt{\mathrm{10}+\sqrt{\mathrm{99}}}\:}\right)\:\:\:\:\:\:}{\:\:\:\:\:\:\:\frac{\sqrt{\mathrm{99}}\:}{\:\sqrt{\mathrm{10}+\sqrt{\mathrm{1}}}\:}\:+\frac{\sqrt{\mathrm{98}}\:}{\:\sqrt{\mathrm{10}+\sqrt{\mathrm{2}}}\:}+\frac{\sqrt{\mathrm{97}}\:}{\:\sqrt{\mathrm{10}+\sqrt{\mathrm{3}}}\:}+…+\frac{\sqrt{\mathrm{1}}\:}{\:\sqrt{\mathrm{10}+\sqrt{\mathrm{99}}}\:}} \\ $$$$ \\ $$$$ \\ $$$$ \\ $$$$ \\ $$$$ \\ $$

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