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Solve-the-following-equation-simultaneously-and-find-the-stationary-points-2xy-2-c-2-4x-3-y-2-2xy-4-0-1-2x-2-yc-2-2x-4-y-4x-2-y-3-0-2-Please-I-need-a-well-detail-cal

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Question Number 203565 by Mastermind last updated on 22/Jan/24
Solve the following equation simultaneously and find the stationary points: 2xy^2 c^2 − 4x^3 y^2 − 2xy^4 = 0 -----(1) 2x^2 yc^2 − 2x^4 y − 4x^2 y^3 = 0 -----(2) Please, I need a well detail calculation Thank you
$$\mathrm{Solve}\:\mathrm{the}\:\mathrm{following}\:\mathrm{equation}\:\mathrm{simultaneously} \\ $$$$\mathrm{and}\:\mathrm{find}\:\mathrm{the}\:\mathrm{stationary}\:\mathrm{points}: \\ $$$$\mathrm{2xy}^{\mathrm{2}} \mathrm{c}^{\mathrm{2}} \:−\:\mathrm{4x}^{\mathrm{3}} \mathrm{y}^{\mathrm{2}} \:−\:\mathrm{2xy}^{\mathrm{4}} \:=\:\mathrm{0}\:—–\left(\mathrm{1}\right) \\ $$$$\mathrm{2x}^{\mathrm{2}} \mathrm{yc}^{\mathrm{2}} \:−\:\mathrm{2x}^{\mathrm{4}} \mathrm{y}\:−\:\mathrm{4x}^{\mathrm{2}} \mathrm{y}^{\mathrm{3}} \:=\:\mathrm{0}\:—–\left(\mathrm{2}\right) \\ $$$$ \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{Please},\:\mathrm{I}\:\mathrm{need}\:\mathrm{a}\:\mathrm{well}\:\mathrm{detail}\:\mathrm{calculation} \\ $$$$\mathrm{Thank}\:\mathrm{you} \\ $$
Answered by a.lgnaoui last updated on 22/Jan/24
(1) 2xy^2 (c^2 −2x^2 −y^2 )=0 (2) 2x^2 y(c^2 −x^2 −2)=0 (3) { ((x^2 =c^2 −2)),((y^2 +2x^2 =c^2 )) :}y^2 =c^2 −2(c^2 −2) ⇒ y^2 = 4−c^2 { ((x^2 =c^2 −2)),((y^2 =4−c^2 ⇒ x^2 +y^2 =2)) :} y=(√(2−x^2 )) =(√(4−c^2 )) 2−x^2 =4−c^2 x=(√(c^2 −2)) (x,y)={(0,0);((√(c^2 −2)) , (√(4−c^2 )) ); pour x=0 or y=0 c=(√2) x=0 and y=0 c=0 (x; y, c)={(0,0,0);(0, (√2) , (√2) ); (0,(√(4−c^2 )) ,c)((√(c^2 −2)) ,0,c)} (1)−(2)⇒(c^2 x−x^3 −2x) −c^2 y− +2x^2 y+y^3 =0 (y^3 −x^3 −c^2 (y−x)+2x(xy−1)=0 (y−x)[(x^2 +xy+y^2 −c^2 )+2x(xy−1) y=(√(2−x^2 )) ⇒ ((√(2−x^2 )) −x)(2+x(√(2−x^2 )) −c^2 )+2x(x(√(2−x^2 )) −1)=0 ⇒2(√(2−x^2 )) +x(2−x^2 )−4x−c^2 + 2x^2 ((√(2−x^2 )) )=0 2(√(2−x^2 )) (x^2 +1)−2x(x^2 +1)−c^2 =0 2(x^2 +1)((√(2−x^2 )) −x)=c^2 (√(2−x^2 )) =(c^2 /(2(x^2 +1)))+x 2−x^2 =(c^4 /(4(x^2 +1)^2 ))+x^2 +((c^2 x)/((x^2 +1))) 8(x^2 +1)^4 −4c^2 x(x^2 +1)−c^4 =0 x=0 c=(√2) ⇒ (0,0,(√2) ) S(Totale)= {(0,0,0)(0,0,(√2) )(0, (√(2,)) (√2) ) (0 ,(√(4−c^2 )) ,0), ((√(c^2 −2)) ,0, c)}
$$\left(\mathrm{1}\right)\:\:\:\mathrm{2xy}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{c}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{y}^{\mathrm{2}} \right)=\mathrm{0} \\ $$$$\:\:\: \\ $$$$\left(\mathrm{2}\right)\:\:\mathrm{2x}^{\mathrm{2}} \mathrm{y}\left(\mathrm{c}^{\mathrm{2}} −\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}\right)=\mathrm{0} \\ $$$$\:\:\left(\mathrm{3}\right)\:\begin{cases}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} =\mathrm{c}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}}\\{\mathrm{y}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2x}^{\mathrm{2}} =\mathrm{c}^{\mathrm{2}} }\end{cases}\mathrm{y}^{\mathrm{2}} =\mathrm{c}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}\left(\mathrm{c}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}\right) \\ $$$$\:\:\:\Rightarrow\:\:\:\mathrm{y}^{\mathrm{2}} =\:\:\mathrm{4}−\mathrm{c}^{\mathrm{2}} \\ $$$$\:\:\:\begin{cases}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} =\mathrm{c}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}}\\{\mathrm{y}^{\mathrm{2}} =\mathrm{4}−\mathrm{c}^{\mathrm{2}} \:\:\:\:\Rightarrow\:\:\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{y}^{\mathrm{2}} =\mathrm{2}}\end{cases}\:\: \\ $$$$\:\:\:\:\mathrm{y}=\sqrt{\mathrm{2}−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} } \\ $$$$\:\:\:\:\:\:=\sqrt{\mathrm{4}−\mathrm{c}^{\mathrm{2}} \:}\:\:\:\:\mathrm{2}−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} =\mathrm{4}−\mathrm{c}^{\mathrm{2}} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{x}=\sqrt{\mathrm{c}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}} \\ $$$$\:\:\:\left(\mathrm{x},\mathrm{y}\right)=\left\{\left(\mathrm{0},\mathrm{0}\right);\left(\sqrt{\mathrm{c}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}}\:,\:\sqrt{\mathrm{4}−\mathrm{c}^{\mathrm{2}} }\:\right);\right. \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{pour}\:\mathrm{x}=\mathrm{0}\:\:\mathrm{or}\:\mathrm{y}=\mathrm{0}\:\:\mathrm{c}=\sqrt{\mathrm{2}}\: \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{x}=\mathrm{0}\:\mathrm{and}\:\mathrm{y}=\mathrm{0}\:\:\:\mathrm{c}=\mathrm{0} \\ $$$$\:\:\:\left(\mathrm{x};\:\mathrm{y},\:\mathrm{c}\right)=\left\{\left(\mathrm{0},\mathrm{0},\mathrm{0}\right);\left(\mathrm{0},\:\sqrt{\mathrm{2}}\:,\:\:\sqrt{\mathrm{2}}\:\right);\right. \\ $$$$\left.\:\:\:\left(\mathrm{0},\sqrt{\mathrm{4}−\mathrm{c}^{\mathrm{2}} }\:,\mathrm{c}\right)\left(\sqrt{\mathrm{c}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}}\:,\mathrm{0},\mathrm{c}\right)\right\} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\: \\ $$$$\:\left(\mathrm{1}\right)−\left(\mathrm{2}\right)\Rightarrow\left(\mathrm{c}^{\mathrm{2}} \mathrm{x}−\mathrm{x}^{\mathrm{3}} \:−\mathrm{2x}\right)\:−\mathrm{c}^{\mathrm{2}} \mathrm{y}− \\ $$$$\:\:\:+\mathrm{2x}^{\mathrm{2}} \mathrm{y}+\mathrm{y}^{\mathrm{3}} \:\:\:\:=\mathrm{0} \\ $$$$\left(\mathrm{y}^{\mathrm{3}} −\mathrm{x}^{\mathrm{3}} −\mathrm{c}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{y}−\mathrm{x}\right)+\mathrm{2x}\left(\mathrm{xy}−\mathrm{1}\right)=\mathrm{0}\right. \\ $$$$\left(\mathrm{y}−\mathrm{x}\right)\left[\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{xy}+\mathrm{y}^{\mathrm{2}} −\mathrm{c}^{\mathrm{2}} \right)+\mathrm{2x}\left(\mathrm{xy}−\mathrm{1}\right)\right. \\ $$$$\:\:\mathrm{y}=\sqrt{\mathrm{2}−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }\:\Rightarrow \\ $$$$ \\ $$$$\:\:\left(\sqrt{\mathrm{2}−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:}\:−\mathrm{x}\right)\left(\mathrm{2}+\mathrm{x}\sqrt{\mathrm{2}−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:}\:−\mathrm{c}^{\mathrm{2}} \right)+\mathrm{2x}\left(\mathrm{x}\sqrt{\mathrm{2}−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:}\:−\mathrm{1}\right)=\mathrm{0} \\ $$$$ \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2}−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:}\:+\mathrm{x}\left(\mathrm{2}−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \right)−\mathrm{4x}−\mathrm{c}^{\mathrm{2}} + \\ $$$$\mathrm{2x}^{\mathrm{2}} \left(\sqrt{\mathrm{2}−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:}\:\right)=\mathrm{0} \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2}−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }\:\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)−\mathrm{2x}\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)−\mathrm{c}^{\mathrm{2}} =\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{2}\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)\left(\sqrt{\mathrm{2}−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:}\:−\mathrm{x}\right)=\mathrm{c}^{\mathrm{2}} \\ $$$$\:\:\sqrt{\mathrm{2}−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }\:=\frac{\mathrm{c}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)}+\mathrm{x} \\ $$$$\mathrm{2}−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:=\frac{\mathrm{c}^{\mathrm{4}} }{\mathrm{4}\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }+\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\frac{\mathrm{c}^{\mathrm{2}} \mathrm{x}}{\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)} \\ $$$$\mathrm{8}\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)^{\mathrm{4}} −\mathrm{4c}^{\mathrm{2}} \mathrm{x}\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)−\mathrm{c}^{\mathrm{4}} =\mathrm{0} \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{x}=\mathrm{0}\:\:\:\:\:\mathrm{c}=\sqrt{\mathrm{2}}\:\:\:\:\:\Rightarrow\:\:\:\left(\mathrm{0},\mathrm{0},\sqrt{\mathrm{2}}\:\right) \\ $$$$ \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{S}\left(\mathrm{Totale}\right)= \\ $$$$\left\{\left(\mathrm{0},\mathrm{0},\mathrm{0}\right)\left(\mathrm{0},\mathrm{0},\sqrt{\mathrm{2}}\:\right)\left(\mathrm{0},\:\sqrt{\mathrm{2},}\:\:\sqrt{\mathrm{2}}\:\right)\:\left(\mathrm{0}\:,\sqrt{\mathrm{4}−\mathrm{c}^{\mathrm{2}} \:}\:,\mathrm{0}\right),\right. \\ $$$$\left.\left(\sqrt{\mathrm{c}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}}\:,\mathrm{0},\:\mathrm{c}\right)\right\} \\ $$$$ \\ $$

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