Question Number 204226 by MathedUp last updated on 09/Feb/24
$$\mathrm{God}\:\mathrm{Damn}\:\mathrm{it}\:\mathrm{why}\:\mathrm{my}\:\mathrm{Integration}\:\mathrm{Test}\:\mathrm{is}\:\mathrm{Wrong}? \\ $$$$\underset{{h}=\mathrm{0}} {\overset{\infty} {\sum}}\:{h}\centerdot{J}_{\nu} \left({h}\right)\:\mathrm{is}\:\mathrm{Conv}?? \\ $$$$\mathrm{Laplace}\:\mathrm{transform}\:\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:{e}^{−{st}} \centerdot \\ $$$$\mathrm{We}\:\mathrm{already}\:\mathrm{Know}\:\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:{e}^{−{st}} {J}_{\nu} \left({t}\right)\mathrm{d}{t}=\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{{s}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}\left({s}+\sqrt{{s}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}\right)^{\nu} } \\ $$$$\frac{\mathrm{d}\:\:}{\mathrm{d}{s}}\:\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:{e}^{−{st}} {J}_{\nu} \left({t}\right)\mathrm{d}{t}=\frac{\mathrm{d}\:\:}{\mathrm{d}{s}}\:\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{{s}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}\left({s}+\sqrt{{s}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}\right)^{\boldsymbol{\nu}} } \\ $$$$−\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:{te}^{−{st}} {J}_{\nu} \left({t}\right)\mathrm{d}{t}=−\frac{{s}+\nu\sqrt{{s}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}}{\:\sqrt{\left({s}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)^{\mathrm{3}} }\left({s}+\sqrt{{s}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}\right)^{\nu} }\: \\ $$$$\left(\mathrm{Thx}\:\mathrm{Wolfram}\right) \\ $$$$\therefore\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:{te}^{−{st}} {J}_{\nu} \left({t}\right)\mathrm{d}{t}=\frac{{s}+\nu\sqrt{{s}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}}{\left({s}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)\sqrt{{s}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}\left({s}+\sqrt{{s}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}\right)^{\nu} } \\ $$$${s}\rightarrow\mathrm{0} \\ $$$$\:\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:{tJ}_{\nu} \left({t}\right)\mathrm{d}{t}=\nu \\ $$$$\:\:\:\underset{{h}=\mathrm{0}} {\overset{\infty} {\sum}}\:{h}\centerdot{J}_{\nu} \left({h}\right)\:\mathrm{Div}….\:\:\:\::\left(\right. \\ $$