Question-204337

Question Number 204337 by SANOGO last updated on 13/Feb/24

Answered by witcher3 last updated on 13/Feb/24

(3)⇒(2) soitU un ouvert de E ∃ existe V un ouvert de F t elle Que U=f^− (V);car f et bijective donc f^− f^− (V) est un ouvet car f est continue f(U)=fof^− (V)==id(V)=V qui est ouvett (2) ⇒(1) soit U un ouvert de E;f(U) est un ouvert de F? U=E−U^− f(E−U^− )=F−f(U^− ) f(U^− ) est ferme d apres (2) E−f(u^− ) est ouvert comme coplementaire d un fermee (1)⇒(3) deja f est bijective continue suffi de Montrer f^− est contine f^− F→E soit U un ouvert de F comme f est une bijectiom ouverte ∃ U′ ouvert dans E U=f(U′) f^− (U)=f^− of(U′)=U^′ qui est bien un ouvert ⇒f^− est continue⇒f est un homeomorphisme (3)⇒(2)⇒(1)⇒3 on a donc ⇔

$$\left(\mathrm{3}\right)\Rightarrow\left(\mathrm{2}\right) \\ $$$$\mathrm{soitU}\:\mathrm{un}\:\mathrm{ouvert}\:\mathrm{de}\:\mathrm{E}\: \\ $$$$\exists\:\mathrm{existe}\:\mathrm{V}\:\mathrm{un}\:\mathrm{ouvert}\:\mathrm{de}\:\mathrm{F} \\ $$$$\mathrm{t}\:\mathrm{elle}\:\mathrm{Que}\:\mathrm{U}=\mathrm{f}^{−} \left(\mathrm{V}\right);\mathrm{car}\:\mathrm{f}\:\mathrm{et}\:\mathrm{bijective}\:\mathrm{donc}\:\mathrm{f}^{−} \\ $$$$\mathrm{f}^{−} \left(\mathrm{V}\right)\:\mathrm{est}\:\mathrm{un}\:\mathrm{ouvet}\:\mathrm{car}\:\mathrm{f}\:\mathrm{est}\:\mathrm{continue} \\ $$$$\mathrm{f}\left(\mathrm{U}\right)=\mathrm{fof}^{−} \left(\mathrm{V}\right)==\mathrm{id}\left(\mathrm{V}\right)=\mathrm{V}\:\mathrm{qui}\:\mathrm{est}\:\mathrm{ouvett} \\ $$$$\left(\mathrm{2}\right)\:\Rightarrow\left(\mathrm{1}\right) \\ $$$$\mathrm{soit}\:\mathrm{U}\:\mathrm{un}\:\mathrm{ouvert}\:\mathrm{de}\:\mathrm{E};\mathrm{f}\left(\mathrm{U}\right)\:\mathrm{est}\:\mathrm{un}\:\mathrm{ouvert}\:\mathrm{de}\:\mathrm{F}? \\ $$$$\mathrm{U}=\mathrm{E}−\overset{−} {\mathrm{U}}\:\mathrm{f}\left(\mathrm{E}−\overset{−} {\mathrm{U}}\right)=\mathrm{F}−\mathrm{f}\left(\overset{−} {\mathrm{U}}\right) \\ $$$$\mathrm{f}\left(\overset{−} {\mathrm{U}}\right)\:\mathrm{est}\:\mathrm{ferme}\:\mathrm{d}\:\mathrm{apres}\:\left(\mathrm{2}\right) \\ $$$$\mathrm{E}−\mathrm{f}\left(\overset{−} {\mathrm{u}}\right)\:\mathrm{est}\:\mathrm{ouvert}\:\mathrm{comme}\:\mathrm{coplementaire}\:\mathrm{d}\:\mathrm{un}\:\mathrm{fermee} \\ $$$$\left(\mathrm{1}\right)\Rightarrow\left(\mathrm{3}\right) \\ $$$$\mathrm{deja}\:\mathrm{f}\:\mathrm{est}\:\mathrm{bijective}\:\mathrm{continue}\:\mathrm{suffi}\:\mathrm{de}\:\mathrm{Montrer}\:\mathrm{f}^{−} \:\mathrm{est}\:\mathrm{contine} \\ $$$$\mathrm{f}^{−} \mathrm{F}\rightarrow\mathrm{E} \\ $$$$\mathrm{soit}\:\mathrm{U}\:\mathrm{un}\:\mathrm{ouvert}\:\mathrm{de}\:\mathrm{F}\: \\ $$$$\mathrm{comme}\:\mathrm{f}\:\mathrm{est}\:\mathrm{une}\:\mathrm{bijectiom}\:\mathrm{ouverte}\:\exists\:\mathrm{U}'\:\mathrm{ouvert}\:\mathrm{dans}\:\mathrm{E} \\ $$$$\mathrm{U}=\mathrm{f}\left(\mathrm{U}'\right) \\ $$$$\mathrm{f}^{−} \left(\mathrm{U}\right)=\mathrm{f}^{−} \mathrm{of}\left(\mathrm{U}'\right)=\mathrm{U}\:^{'} \mathrm{qui}\:\mathrm{est}\:\mathrm{bien}\:\mathrm{un}\:\mathrm{ouvert} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{f}^{−} \:\mathrm{est}\:\mathrm{continue}\Rightarrow\mathrm{f}\:\mathrm{est}\:\mathrm{un}\:\mathrm{homeomorphisme} \\ $$$$\left(\mathrm{3}\right)\Rightarrow\left(\mathrm{2}\right)\Rightarrow\left(\mathrm{1}\right)\Rightarrow\mathrm{3} \\ $$$$\mathrm{on}\:\mathrm{a}\:\mathrm{donc}\:\Leftrightarrow \\ $$

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