Question Number 204397 by Abdullahrussell last updated on 16/Feb/24
Answered by MM42 last updated on 16/Feb/24
$$\left({y}−\mathrm{1}\right)\left({y}+\mathrm{1}\right)\left({y}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)={x}\left({x}+\mathrm{1}\right)\left({x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right) \\ $$$$\Rightarrow{y}={x}\Rightarrow\left({x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)\left({x}+\mathrm{1}\right)=\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow{x}={y}=−\mathrm{1}\:\checkmark \\ $$$$ \\ $$
Commented by Rasheed.Sindhi last updated on 16/Feb/24
$$\left(\mathrm{0},\mathrm{1}\right)\:\&\:\left(\mathrm{0},−\mathrm{1}\right)\:{also}\:{satisfy}. \\ $$
Answered by AST last updated on 16/Feb/24
$${x}^{\mathrm{4}} <{x}^{\mathrm{4}} +{x}^{\mathrm{3}} +{x}^{\mathrm{2}} +{x}+\mathrm{1}=\left({x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)\left({x}^{\mathrm{2}} +{x}\right) \\ $$$$<{x}^{\mathrm{4}} +\mathrm{4}{x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{6}{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{4}{x}+\mathrm{1}=\left({x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{4}} \\ $$$${when}\:{x}>\mathrm{0}.\:{If}\:{x}<−\mathrm{1},\:{then}\:{x}^{\mathrm{4}} >{x}^{\mathrm{4}} +{x}^{\mathrm{3}} +{x}^{\mathrm{2}} +{x}+\mathrm{1} \\ $$$$>\left({x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{4}} \\ $$$${when}\:\mathrm{0}<{x}<−\mathrm{1},{then}\:{x}^{\mathrm{4}} +{x}^{\mathrm{3}} +{x}^{\mathrm{2}} +{x}+\mathrm{1}>{x}^{\mathrm{4}} >\left({x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{4}} \\ $$$${So},{x}\:{is}\:{never}\:{an}\:{integer}\:{then} \\ $$$${This}\:{implies}\:{x}^{\mathrm{4}} +{x}^{\mathrm{3}} +{x}^{\mathrm{2}} +{x}+\mathrm{1} \\ $$$${is}\:{always}\:{in}-{between}\:{two}\:{consecutive}\:{perfect} \\ $$$${fourth}\:{powers}\:{x}^{\mathrm{4}} \:{and}\:\left({x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{4}} \:{when}\:{x}>\mathrm{0}\:{or}\:{x}<−\mathrm{1},\: \\ $$$${so}\:{it}\:{can}'{t}\:{be}\:{a}\:{fourth}\:{power}\:{unless}\:{it}\:{is}\:{equal}\:{to}\: \\ $$$${one}\:{of}\:{them}.\:\left[{Or}\:{one}\:{can}\:{conclude}\:{from}\:{here}\right. \\ $$$${that}\:{there}\:{are}\:{only}\:{two}\:{integers}\:{left}\:\left\{−\mathrm{1},\mathrm{0}\right\}\: \\ $$$$\left.{for}\:{x}.\right]. \\ $$$$\:{x}^{\mathrm{4}} +{x}^{\mathrm{3}} +{x}^{\mathrm{2}} +{x}+\mathrm{1}={x}^{\mathrm{4}} \Rightarrow{x}=−\mathrm{1}\Rightarrow{y}^{\mathrm{4}} =\mathrm{1}\Rightarrow{y}=\underset{−} {+}\mathrm{1} \\ $$$${x}^{\mathrm{4}} +{x}^{\mathrm{3}} +{x}^{\mathrm{2}} +{x}+\mathrm{1}=\left({x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{4}} \Rightarrow{x}=\mathrm{0}\Rightarrow{y}=\underset{−} {+}\mathrm{1} \\ $$$$\Rightarrow\left({x},{y}\right)=\left(−\mathrm{1},\mathrm{1}\right),\left(−\mathrm{1},−\mathrm{1}\right),\left(\mathrm{0},\mathrm{1}\right),\left(\mathrm{0},−\mathrm{1}\right). \\ $$
Answered by Rasheed.Sindhi last updated on 16/Feb/24
$${y}^{\mathrm{4}} −\mathrm{1}={x}\left({x}^{\mathrm{3}} +{x}^{\mathrm{2}} +{x}+\mathrm{1}\right) \\ $$$$\left.\left({y}−\mathrm{1}\right)\left({y}+\mathrm{1}\right)\left({y}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)={x}\left({x}+\mathrm{1}\right)\right)\left({x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right) \\ $$$$\left(\pm\mathrm{1}\right)\left({y}−\mathrm{1}\right)\left({y}+\mathrm{1}\right)\left({y}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)=\left(\pm\mathrm{1}\right){x}\left({x}+\mathrm{1}\right)\left({x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right) \\ $$$$\bullet{y}=\mathrm{1} \\ $$$$\left(\pm\mathrm{1}\right)\left({x}^{\mathrm{4}} +{x}^{\mathrm{3}} +{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)=\mathrm{0} \\ $$$${x}\left({x}^{\mathrm{3}} +{x}^{\mathrm{2}} +{x}+\mathrm{1}\right)=\mathrm{0} \\ $$$${x}=\mathrm{0} \\ $$$$\left({x},{y}\right)=\left(\mathrm{0},\mathrm{1}\right) \\ $$$$\bullet{y}=−\mathrm{1} \\ $$$$\left(\pm\mathrm{1}\right)\left({x}^{\mathrm{4}} +{x}^{\mathrm{3}} +{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)=\mathrm{0} \\ $$$${x}\left({x}^{\mathrm{3}} +{x}^{\mathrm{2}} +{x}+\mathrm{1}\right)=\mathrm{0} \\ $$$${x}=\mathrm{0} \\ $$$$\left({x},{y}\right)=\left(\mathrm{0},−\mathrm{1}\right) \\ $$$$\bullet{x}=\mathrm{1} \\ $$$$\left({y}−\mathrm{1}\right)\left({y}+\mathrm{1}\right)\left({y}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)=\left(\mathrm{1}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{1}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right) \\ $$$${y}^{\mathrm{4}} −\mathrm{1}=\mathrm{4}\:\left({No}\:{integer}\:{y}\right) \\ $$$$\bullet{x}=−\mathrm{1} \\ $$$$−\left({y}^{\mathrm{4}} −\mathrm{1}\right)=\mathrm{0} \\ $$$${y}=\pm\mathrm{1} \\ $$$$\left({x},{y}\right)=\left(−\mathrm{1},−\mathrm{1}\right),\left(−\mathrm{1},\mathrm{1}\right) \\ $$$$\bullet{x}={y}−\mathrm{1} \\ $$$$\left({y}+\mathrm{1}\right)\left({y}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)=\left({x}+\mathrm{1}\right)\left({x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right) \\ $$$${y}^{\mathrm{3}} +{y}^{\mathrm{2}} +{y}+\mathrm{1}={y}\left({y}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}{y}+\mathrm{2}\right) \\ $$$${y}^{\mathrm{3}} +{y}^{\mathrm{2}} +{y}+\mathrm{1}={y}^{\mathrm{3}} −\mathrm{2}{y}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}{y} \\ $$$$\mathrm{3}{y}^{\mathrm{2}} −{y}+\mathrm{1}=\mathrm{0} \\ $$$${No}\:{integer}\:{roots}. \\ $$$$\bullet{x}={y}+\mathrm{1} \\ $$$$\left({y}−\mathrm{1}\right)\left({y}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)=\left({x}+\mathrm{1}\right)\left({x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right) \\ $$$$\left({y}−\mathrm{1}\right)\left({y}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)=\left({y}+\mathrm{1}+\mathrm{1}\right)\left({y}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}{y}+\mathrm{1}+\mathrm{1}\right) \\ $$$$\left({y}−\mathrm{1}\right)\left({y}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)=\left({y}+\mathrm{2}\right)\left({y}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}{y}+\mathrm{2}\right) \\ $$$${y}^{\mathrm{3}} −{y}^{\mathrm{2}} +{y}−\mathrm{1}={y}^{\mathrm{3}} +\mathrm{2}{y}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}{y}+\mathrm{2}{y}^{\mathrm{2}} +\mathrm{4}{y}+\mathrm{4} \\ $$$${y}^{\mathrm{3}} −{y}^{\mathrm{2}} +{y}−\mathrm{1}={y}^{\mathrm{3}} +\mathrm{4}{y}^{\mathrm{2}} +\mathrm{6}{y}+\mathrm{4} \\ $$$$\mathrm{5}{y}^{\mathrm{2}} +\mathrm{5}{y}+\mathrm{5}=\mathrm{0} \\ $$$${No}\:{integer}\:{roots}. \\ $$$$\bullet{x}={y}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1} \\ $$$$\left({y}−\mathrm{1}\right)\left({y}+\mathrm{1}\right)=\left({x}+\mathrm{1}\right)\left({x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right) \\ $$$$\left({y}−\mathrm{1}\right)\left({y}+\mathrm{1}\right)=\left({y}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}+\mathrm{1}\right)\left(\left({y}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right) \\ $$$${y}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}=\left({y}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}\right)\left({y}^{\mathrm{4}} +\mathrm{2}{y}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}\right) \\ $$$${y}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}={y}^{\mathrm{6}} +\mathrm{2}{y}^{\mathrm{4}} +\mathrm{2}{y}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}{y}^{\mathrm{4}} +\mathrm{4}{y}^{\mathrm{2}} +\mathrm{4} \\ $$$${y}^{\mathrm{6}} +\mathrm{4}{y}^{\mathrm{4}} +\mathrm{5}{y}^{\mathrm{2}} +\mathrm{5}=\mathrm{0} \\ $$$${No}\:{integer}\:{roots}. \\ $$