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lim-n-r-1-n-n-2-r-n-2-r-

Tinku Tara 0 Comments
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Question Number 204929 by universe last updated on 02/Mar/24
lim_(n→∞) Π_(r=1) ^n ((n^2 −r)/(n^2 +r)) = ?
$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\underset{{n}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}\:\underset{{r}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\prod}}\:\frac{{n}^{\mathrm{2}} −{r}}{{n}^{\mathrm{2}} +{r}}\:\:=\:\:? \\ $$
Answered by witcher3 last updated on 02/Mar/24
Π_(r=1) ^n (((n^2 −r))/((n^2 +r)))=((n^2 (n^2 −1)....(n^2 −n))/((n^2 +n)....(n^2 )))=((n^2 !(n^2 −1)!)/((n^2 −n−1)!.(n^2 +n)!))=U_n n! ∼(√(2πn)).((n/e))^n U_n ∼(((√(2πn^2 )).((n^2 /e))^n^2 .(√(2π(n^2 −1))).(((n^2 −1)/e))^(n^2 −1) )/( (√(2π(n^2 −n−1))).(((n^2 −n−1)/e))^(n^2 −n−1) .(√(2π(n^2 +n))).(((n^2 +n)/e))^(n^2 +n) ))=W_n lim_(n→∞) U_n =lim_(n→∞) W_n W_n =(√((4π^2 n^2 .(n^2 −1))/(4π^2 (n^2 −n−1)(n^2 +n)))).(((n^2 −1)^(n^2 −1) .n^(2n^2 ) )/((n^2 +n)^(n^2 +n) (n^2 −n−1)^(n^2 −n−1) )).(e^(−n^2 −n^2 +1) /e^(−n^2 +n+1+n^2 −n) ) W_n ∼(((n^2 −1)^(n^2 −1) n^(2n^2 ) )/((n^2 +n)^(n^2 +n) (n^2 −n−1)^(n^2 −n−1) )) e^((n^2 −1)ln(n^2 −1)) =((e^(n^2 ln(n^2 )+n^2 (ln(1−(1/n^2 )))) .n^(2n) )/(e^((n^2 +n)ln(n^2 +n)) .e^((n^2 −n)ln(n^2 −n−1)) )) W_n ∼((n^(4n) .e^(n^2 ln(1−(1/n^2 ))) )/(e^(+nln(1+(1/n))+n^2 ln(1+(1/n))) .e^(n^2 ln(1−(1/n)−(1/n^2 ))−nln(1−(1/n)−(1/n^2 ))) .n^(4n) )) ln(1+x)=x−(x^2 /2)+o(x^2 ) Y_n =e^(nln(1+(1/n))−nln(1−(1/n)−(1/n^2 ))) =e^(n((1/n)−(1/(2n^2 )))−n(−((1/n)+(1/n^2 ))−(1/2)((1/n)+(1/n^2 ))^2 +o((1/n^2 ))) lim_(n→∞) Y_n =e^2 Z_n =e^(n^2 ln(1+(1/n))+n^2 ln(1−(1/n)−(1/n^2 ))) =e^(n(1−(1/(2n)))+n^2 (−((1/n)+(1/n^2 ))−(1/(2n^2 )))+o(n^2 )) Z_n →e^(−2) lim_(x→∞) W_x =(e^(−1) /(e^2 .e^(−2) ))=(1/e)
$$\underset{\mathrm{r}=\mathrm{1}} {\overset{\mathrm{n}} {\prod}}\frac{\left(\mathrm{n}^{\mathrm{2}} −\mathrm{r}\right)}{\left(\mathrm{n}^{\mathrm{2}} +\mathrm{r}\right)}=\frac{\mathrm{n}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{n}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)….\left(\mathrm{n}^{\mathrm{2}} −\mathrm{n}\right)}{\left(\mathrm{n}^{\mathrm{2}} +\mathrm{n}\right)….\left(\mathrm{n}^{\mathrm{2}} \right)}=\frac{\mathrm{n}^{\mathrm{2}} !\left(\mathrm{n}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)!}{\left(\mathrm{n}^{\mathrm{2}} −\mathrm{n}−\mathrm{1}\right)!.\left(\mathrm{n}^{\mathrm{2}} +\mathrm{n}\right)!}=\mathrm{U}_{\mathrm{n}} \\ $$$$\mathrm{n}!\:\sim\sqrt{\mathrm{2}\pi\mathrm{n}}.\left(\frac{\mathrm{n}}{\mathrm{e}}\right)^{\mathrm{n}} \\ $$$$\mathrm{U}_{\mathrm{n}} \sim\frac{\sqrt{\mathrm{2}\pi\mathrm{n}^{\mathrm{2}} }.\left(\frac{\mathrm{n}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{e}}\right)^{\mathrm{n}^{\mathrm{2}} } .\sqrt{\mathrm{2}\pi\left(\mathrm{n}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)}.\left(\frac{\mathrm{n}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}{\mathrm{e}}\right)^{\mathrm{n}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}} }{\:\sqrt{\mathrm{2}\pi\left(\mathrm{n}^{\mathrm{2}} −\mathrm{n}−\mathrm{1}\right)}.\left(\frac{\mathrm{n}^{\mathrm{2}} −\mathrm{n}−\mathrm{1}}{\mathrm{e}}\right)^{\mathrm{n}^{\mathrm{2}} −\mathrm{n}−\mathrm{1}} .\sqrt{\mathrm{2}\pi\left(\mathrm{n}^{\mathrm{2}} +\mathrm{n}\right)}.\left(\frac{\mathrm{n}^{\mathrm{2}} +\mathrm{n}}{\mathrm{e}}\right)^{\mathrm{n}^{\mathrm{2}} +\mathrm{n}} }=\mathrm{W}_{\mathrm{n}} \\ $$$$\underset{\mathrm{n}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}U}_{\mathrm{n}} =\underset{\mathrm{n}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}W}_{\mathrm{n}} \\ $$$$\mathrm{W}_{\mathrm{n}} =\sqrt{\frac{\mathrm{4}\pi^{\mathrm{2}} \mathrm{n}^{\mathrm{2}} .\left(\mathrm{n}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)}{\mathrm{4}\pi^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{n}^{\mathrm{2}} −\mathrm{n}−\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{n}^{\mathrm{2}} +\mathrm{n}\right)}}.\frac{\left(\mathrm{n}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}} .\mathrm{n}^{\mathrm{2n}^{\mathrm{2}} } }{\left(\mathrm{n}^{\mathrm{2}} +\mathrm{n}\right)^{\mathrm{n}^{\mathrm{2}} +\mathrm{n}} \left(\mathrm{n}^{\mathrm{2}} −\mathrm{n}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}^{\mathrm{2}} −\mathrm{n}−\mathrm{1}} }.\frac{\mathrm{e}^{−\mathrm{n}^{\mathrm{2}} −\mathrm{n}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}} }{\mathrm{e}^{−\mathrm{n}^{\mathrm{2}} +\mathrm{n}+\mathrm{1}+\mathrm{n}^{\mathrm{2}} −\mathrm{n}} } \\ $$$$\mathrm{W}_{\mathrm{n}} \sim\frac{\left(\mathrm{n}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}} \mathrm{n}^{\mathrm{2n}^{\mathrm{2}} } }{\left(\mathrm{n}^{\mathrm{2}} +\mathrm{n}\right)^{\mathrm{n}^{\mathrm{2}} +\mathrm{n}} \left(\mathrm{n}^{\mathrm{2}} −\mathrm{n}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}^{\mathrm{2}} −\mathrm{n}−\mathrm{1}} } \\ $$$$\mathrm{e}^{\left(\mathrm{n}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)\mathrm{ln}\left(\mathrm{n}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)} =\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{n}^{\mathrm{2}} \mathrm{ln}\left(\mathrm{n}^{\mathrm{2}} \right)+\mathrm{n}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}^{\mathrm{2}} }\right)\right)} .\mathrm{n}^{\mathrm{2n}} }{\mathrm{e}^{\left(\mathrm{n}^{\mathrm{2}} +\mathrm{n}\right)\mathrm{ln}\left(\mathrm{n}^{\mathrm{2}} +\mathrm{n}\right)} .\mathrm{e}^{\left(\mathrm{n}^{\mathrm{2}} −\mathrm{n}\right)\mathrm{ln}\left(\mathrm{n}^{\mathrm{2}} −\mathrm{n}−\mathrm{1}\right)} } \\ $$$$\mathrm{W}_{\mathrm{n}} \sim\frac{\mathrm{n}^{\mathrm{4n}} .\mathrm{e}^{\mathrm{n}^{\mathrm{2}} \mathrm{ln}\left(\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}^{\mathrm{2}} }\right)} }{\mathrm{e}^{+\mathrm{nln}\left(\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}}\right)+\mathrm{n}^{\mathrm{2}} \mathrm{ln}\left(\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}}\right)} .\mathrm{e}^{\mathrm{n}^{\mathrm{2}} \mathrm{ln}\left(\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}^{\mathrm{2}} }\right)−\mathrm{nln}\left(\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}^{\mathrm{2}} }\right)} \:.\mathrm{n}^{\mathrm{4n}} } \\ $$$$\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}+\mathrm{x}\right)=\mathrm{x}−\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}}+\mathrm{o}\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \right) \\ $$$$\mathrm{Y}_{\mathrm{n}} =\mathrm{e}^{\mathrm{nln}\left(\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}}\right)−\mathrm{nln}\left(\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}^{\mathrm{2}} }\right)} =\mathrm{e}^{\mathrm{n}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2n}^{\mathrm{2}} }\right)−\mathrm{n}\left(−\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}^{\mathrm{2}} }\right)−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}^{\mathrm{2}} }\right)^{\mathrm{2}} +\mathrm{o}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}^{\mathrm{2}} }\right)\right.} \\ $$$$\underset{\mathrm{n}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}Y}_{\mathrm{n}} =\mathrm{e}^{\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{Z}_{\mathrm{n}} =\mathrm{e}^{\mathrm{n}^{\mathrm{2}} \mathrm{ln}\left(\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}}\right)+\mathrm{n}^{\mathrm{2}} \mathrm{ln}\left(\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}^{\mathrm{2}} }\right)} =\mathrm{e}^{\mathrm{n}\left(\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2n}}\right)+\mathrm{n}^{\mathrm{2}} \left(−\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}^{\mathrm{2}} }\right)−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2n}^{\mathrm{2}} }\right)+\mathrm{o}\left(\mathrm{n}^{\mathrm{2}} \right)} \\ $$$$\mathrm{Z}_{\mathrm{n}} \rightarrow\mathrm{e}^{−\mathrm{2}} \\ $$$$\underset{{x}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}\:\mathrm{W}_{\mathrm{x}} =\frac{\mathrm{e}^{−\mathrm{1}} }{\mathrm{e}^{\mathrm{2}} .\mathrm{e}^{−\mathrm{2}} }=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{e}} \\ $$$$ \\ $$
Commented by universe last updated on 03/Mar/24
thank u sir
$${thank}\:\:{u}\:\:{sir} \\ $$
Commented by witcher3 last updated on 04/Mar/24
Withe Pleasur
$$\mathrm{Withe}\:\mathrm{Pleasur} \\ $$

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