Question Number 205073 by mr W last updated on 07/Mar/24
$${if}\:{a},\:{b},\:{c}\:{are}\:{the}\:{roots}\:{of} \\ $$$${f}\left({x}\right)={x}^{\mathrm{3}} −\mathrm{2024}{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2024}{x}+\mathrm{2024} \\ $$$${find}\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}−{a}^{\mathrm{2}} }+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}−{b}^{\mathrm{2}} }+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}−{c}^{\mathrm{2}} }=? \\ $$
Answered by cortano12 last updated on 07/Mar/24
$$\:=\:\frac{\mathrm{a}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{1}−\mathrm{a}^{\mathrm{2}} }\:+\frac{\mathrm{b}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{1}−\mathrm{b}^{\mathrm{2}} }\:+\frac{\mathrm{c}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{1}−\mathrm{c}^{\mathrm{2}} }\:+\:\mathrm{3}\: \\ $$$$\:=\:\frac{\mathrm{a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{b}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}\left(\mathrm{ab}\right)^{\mathrm{2}} }{\left(\mathrm{1}−\mathrm{a}^{\mathrm{2}} \right)\left(\mathrm{1}−\mathrm{b}^{\mathrm{2}} \right)}\:+\frac{\mathrm{c}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{1}−\mathrm{c}^{\mathrm{2}} }\:+\:\mathrm{3}\: \\ $$$$\:=\frac{\mathrm{a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{b}^{\mathrm{2}} +\mathrm{c}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3}\left(\mathrm{abc}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}\left(\left(\mathrm{ab}\right)^{\mathrm{2}} +\left(\mathrm{ac}\right)^{\mathrm{2}} +\left(\mathrm{bc}\right)^{\mathrm{2}} \right.}{\left(\mathrm{1}−\mathrm{a}^{\mathrm{2}} \right)\left(\mathrm{1}−\mathrm{b}^{\mathrm{2}} \right)\left(\mathrm{1}−\mathrm{c}^{\mathrm{2}} \right)}+\mathrm{3} \\ $$
Answered by Frix last updated on 07/Mar/24
$${y}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}−{x}^{\mathrm{2}} }\:\Rightarrow\:{x}=\pm\sqrt{\frac{{y}−\mathrm{1}}{{y}}} \\ $$$$\mathrm{Inserting}\:\&\:\mathrm{transforming} \\ $$$${y}^{\mathrm{3}} −\frac{\mathrm{2027}{y}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2025}}−\frac{\mathrm{2021}{y}}{\mathrm{2025}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4100625}}=\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow\:\mathrm{answer}\:\mathrm{is}\:\frac{\mathrm{2027}}{\mathrm{2025}} \\ $$
Answered by A5T last updated on 07/Mar/24
$${WLOG}\:,{let}\:{a}={x}+{yi},{b}={x}−{yi},{c}={c}\:{where}\:{x},{y},{c}\in\mathbb{R} \\ $$$$?=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}−\left({x}+{yi}\right)^{\mathrm{2}} }+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}−\left({x}−{yi}\right)^{\mathrm{2}} }+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}−{c}^{\mathrm{2}} } \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{2}?=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}−{x}−{yi}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}−{x}+{yi}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}−{c}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}+{x}+{yi}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}+{x}−{yi}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}+{c}} \\ $$$$=\frac{\mathrm{2}\left(\mathrm{1}−{x}\right)}{\left(\mathrm{1}−{x}\right)^{\mathrm{2}} +{y}^{\mathrm{2}} }+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}−{c}}+\frac{\mathrm{2}\left(\mathrm{1}+{x}\right)}{\left(\mathrm{1}+{x}\right)^{\mathrm{2}} +{y}^{\mathrm{2}} }+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}+{c}} \\ $$$$=\frac{\mathrm{2}\left(\mathrm{1}−{c}−{x}+{xc}\right)+\mathrm{1}+{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}{x}+{y}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{1}+{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}{x}+{y}^{\mathrm{2}} −{c}−{cx}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}{cx}−{cy}^{\mathrm{2}} }+\frac{\mathrm{2}\left(\mathrm{1}+{x}+{c}+{cx}\right)+\mathrm{1}+{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}{x}+{y}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{1}+{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}{x}+{y}^{\mathrm{2}} +{c}+{cx}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}{cx}+{cy}^{\mathrm{2}} } \\ $$$$=\frac{\mathrm{3}−\mathrm{2}\left({c}+\mathrm{2}{x}\right)+{x}^{\mathrm{2}} +{y}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}{cx}}{\mathrm{1}+{x}^{\mathrm{2}} +{y}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}{cx}−\left(\mathrm{2}{x}+{c}\right)−{c}\left({x}^{\mathrm{2}} +{y}^{\mathrm{2}} \right)}+\frac{\mathrm{3}+{x}^{\mathrm{2}} +{y}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}{cx}+\mathrm{2}\left(\mathrm{2}{x}+{c}\right)}{\mathrm{1}+{x}^{\mathrm{2}} +{y}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}{cx}+\mathrm{2}{x}+{c}+{c}\left({x}^{\mathrm{2}} +{y}^{\mathrm{2}} \right)} \\ $$$$=\frac{\mathrm{3}−\left(\mathrm{2024}\right)}{\mathrm{2025}}+\frac{\mathrm{3}×\mathrm{2025}}{\mathrm{2025}}=\frac{\mathrm{4054}}{\mathrm{2025}}=\mathrm{2}?\:\:\Rightarrow?=\frac{\mathrm{2027}}{\mathrm{2025}} \\ $$$$\left[{ab}+{bc}+{ca}=\mathrm{2024}\Rightarrow{x}^{\mathrm{2}} +{y}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}{cx}=\mathrm{2024}\right. \\ $$$$\left.{abc}=\left({x}^{\mathrm{2}} +{y}^{\mathrm{2}} \right){c}=−\mathrm{2024};{a}+{b}+{c}=\mathrm{2}{x}+{c}=\mathrm{2024}\right] \\ $$
Answered by A5T last updated on 07/Mar/24
$$\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}−{a}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}−{b}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}−{c}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}+{a}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}+{b}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}+{c}}=\mathrm{2}? \\ $$$$\frac{\Sigma\left(\mathrm{1}−{a}\right)\left(\mathrm{1}−{b}\right)}{\left(\mathrm{1}−{a}\right)\left(\mathrm{1}−{b}\right)\left(\mathrm{1}−{c}\right)}+\frac{\Sigma\left(\mathrm{1}+{a}\right)\left(\mathrm{1}+{b}\right)}{\left(\mathrm{1}+{a}\right)\left(\mathrm{1}+{b}\right)\left(\mathrm{1}+{c}\right)} \\ $$$$=\frac{\mathrm{3}−\mathrm{2}\left({a}+{b}+{c}\right)+{ab}+{bc}+{ca}}{\mathrm{1}−{a}−{b}−{c}+{ab}+{ac}+{bc}−{abc}}+\frac{\mathrm{3}+\mathrm{2}\left(\Sigma{a}\right)+\Sigma{ab}}{\mathrm{1}+\Sigma{a}+\Sigma{ab}+{abc}} \\ $$$$=\frac{\mathrm{3}−\mathrm{2}\left(\mathrm{2024}\right)+\mathrm{2024}}{\mathrm{1}−\mathrm{2024}+\mathrm{2024}+\mathrm{2024}}+\frac{\mathrm{3}+\mathrm{2}\left(\mathrm{2024}\right)+\mathrm{2024}}{\mathrm{1}+\mathrm{2024}+\mathrm{2024}−\mathrm{2024}} \\ $$$$=\frac{\mathrm{3}−\mathrm{2024}}{\mathrm{2025}}+\frac{\mathrm{3}×\mathrm{2025}}{\mathrm{2025}}=\frac{\mathrm{4054}}{\mathrm{2025}}=\mathrm{2}?\Rightarrow?=\frac{\mathrm{2027}}{\mathrm{2025}} \\ $$
Answered by mr W last updated on 07/Mar/24
$$\left({x}−\mathrm{1}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{3}} −\mathrm{2024}\left({x}−\mathrm{1}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} +\mathrm{2024}\left({x}−\mathrm{1}+\mathrm{1}\right)+\mathrm{2024}=\mathrm{0} \\ $$$${let}\:{t}={x}−\mathrm{1} \\ $$$$\left({t}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{3}} −\mathrm{2024}\left({t}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} +\mathrm{2024}\left({t}+\mathrm{1}\right)+\mathrm{2024}=\mathrm{0} \\ $$$$\frac{\mathrm{2025}}{{t}^{\mathrm{3}} }−\frac{\mathrm{2021}}{{t}^{\mathrm{2}} }−\frac{\mathrm{2021}}{{t}}+\mathrm{1}=\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow\Sigma\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}−{x}}=−\Sigma\frac{\mathrm{1}}{{t}}=−\frac{\mathrm{2021}}{\mathrm{2025}} \\ $$$$\left({x}+\mathrm{1}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{3}} −\mathrm{2024}\left({x}+\mathrm{1}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} +\mathrm{2024}\left({x}+\mathrm{1}−\mathrm{1}\right)+\mathrm{2024}=\mathrm{0} \\ $$$${let}\:{s}={x}+\mathrm{1} \\ $$$$\left({s}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{3}} −\mathrm{2024}\left({s}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} +\mathrm{2024}\left({s}−\mathrm{1}\right)+\mathrm{2024}=\mathrm{0} \\ $$$${s}^{\mathrm{3}} −\mathrm{2027}{s}^{\mathrm{2}} +\mathrm{6075}{s}−\mathrm{2025}=\mathrm{0} \\ $$$$\frac{\mathrm{2025}}{{s}^{\mathrm{3}} }−\frac{\mathrm{6075}}{{s}^{\mathrm{2}} }+\frac{\mathrm{2027}}{{s}}−\mathrm{1}=\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow\Sigma\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}+{x}}=\Sigma\frac{\mathrm{1}}{{s}}=\frac{\mathrm{6075}}{\mathrm{2025}} \\ $$$$\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}−{a}^{\mathrm{2}} }+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}−{b}^{\mathrm{2}} }+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}−{c}^{\mathrm{2}} } \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}−{a}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}−{b}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}−{c}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}+{a}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}+{b}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}+{c}}\right) \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left(\Sigma\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}−{x}}+\Sigma\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}+{x}}\right) \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left(−\frac{\mathrm{2021}}{\mathrm{2025}}+\frac{\mathrm{6075}}{\mathrm{2025}}\right)=\frac{\mathrm{2027}}{\mathrm{2025}}\:\checkmark \\ $$
Answered by pi314 last updated on 08/Mar/24
$$\frac{{P}'\left({x}\right)}{{P}\left({x}\right)}=\underset{{a},{b},{c}} {\sum}\frac{\mathrm{1}}{{x}−{c}};\frac{\mathrm{3}{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{4048}{x}+\mathrm{2024}}{{x}^{\mathrm{3}} −\mathrm{2024}{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2024}{x}+\mathrm{2024}} \\ $$$${S}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}−{a}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}−{b}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}−{c}}\right)+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}+{a}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}+{b}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}+{c}}\right) \\ $$$${S}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left(\frac{{P}'\left(\mathrm{1}\right)}{{P}\left(\mathrm{1}\right)}−\frac{{P}'\left(−\mathrm{1}\right)}{{P}\left(−\mathrm{1}\right)}\right)=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left(\frac{−\mathrm{2021}}{\mathrm{2025}}+\frac{\mathrm{6075}}{\mathrm{2025}}\right)=\frac{\mathrm{2027}}{\mathrm{2025}} \\ $$