Question Number 205928 by mathzup last updated on 03/Apr/24
$${calculate}\:\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\:\frac{{dx}}{\mathrm{1}+{x}^{\mathrm{4}} +{x}^{\mathrm{8}} } \\ $$
Answered by Frix last updated on 03/Apr/24
$$\int\frac{{dx}}{{x}^{\mathrm{8}} +{x}^{\mathrm{4}} +\mathrm{1}}= \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\int\frac{{dx}}{{x}^{\mathrm{2}} −{x}+\mathrm{1}}+ \\ $$$$+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\int\frac{{dx}}{{x}^{\mathrm{2}} +{x}+\mathrm{1}}− \\ $$$$−\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{12}}\int\frac{\mathrm{2}{x}−\sqrt{\mathrm{3}}}{{x}^{\mathrm{2}} −\sqrt{\mathrm{3}}{x}+\mathrm{1}}{dx}+ \\ $$$$+\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{12}}\int\frac{\mathrm{2}{x}+\sqrt{\mathrm{3}}}{{x}^{\mathrm{2}} +\sqrt{\mathrm{3}}{x}+\mathrm{1}}{dx}= \\ $$$$=\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{6}}\mathrm{tan}^{−\mathrm{1}} \:\frac{\sqrt{\mathrm{3}}\left(\mathrm{2}{x}−\mathrm{1}\right)}{\mathrm{3}}\:+ \\ $$$$+\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{6}}\mathrm{tan}^{−\mathrm{1}} \:\frac{\sqrt{\mathrm{3}}\left(\mathrm{2}{x}+\mathrm{1}\right)}{\mathrm{3}}\:− \\ $$$$−\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{12}}\mathrm{ln}\:\left({x}^{\mathrm{2}} −\sqrt{\mathrm{3}}{x}+\mathrm{1}\right)\:+ \\ $$$$+\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{12}}\mathrm{ln}\:\left({x}^{\mathrm{2}} +\sqrt{\mathrm{3}}{x}+\mathrm{1}\right) \\ $$$$\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{Answer}\:\mathrm{is}\:\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{6}}\pi \\ $$