Question Number 206082 by hardmath last updated on 06/Apr/24
$$\mathrm{If}\:\:\:\mathrm{cos}\boldsymbol{\alpha}\:=\:\mathrm{sin}\boldsymbol{\alpha}\:+\:\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}} \\ $$$$\mathrm{Find}\:\:\:\mathrm{sin2}\boldsymbol{\alpha}\:=\:? \\ $$
Answered by MATHEMATICSAM last updated on 29/Apr/24
$$\mathrm{cos}\alpha\:=\:\mathrm{sin}\alpha\:+\:\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}} \\ $$$$\Rightarrow\:\mathrm{cos}\alpha\:−\:\mathrm{sin}\alpha\:=\:\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}} \\ $$$$\Rightarrow\:\mathrm{cos}^{\mathrm{2}} \alpha\:+\:\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \alpha\:−\:\mathrm{2sin}\alpha\mathrm{cos}\alpha\:=\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}} \\ $$$$\Rightarrow\:\mathrm{1}\:−\:\mathrm{2sin}\alpha\mathrm{cos}\alpha\:=\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\: \\ $$$$\Rightarrow\:\mathrm{2sin}\alpha\mathrm{cos}\alpha\:=\:\mathrm{1}\:−\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\:=\:\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}} \\ $$$$\Rightarrow\:\mathrm{sin2}\alpha\:=\:\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}} \\ $$
Answered by mr W last updated on 06/Apr/24
$$\mathrm{cos}\:\alpha−\mathrm{sin}\:\alpha=\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}} \\ $$$$\mathrm{cos}\:\left(\alpha+\frac{\pi}{\mathrm{4}}\right)=\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{6}}} \\ $$$$\mathrm{cos}\:\mathrm{2}\left(\alpha+\frac{\pi}{\mathrm{4}}\right)=\mathrm{2}×\left(\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{6}}}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}=−\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}} \\ $$$$\mathrm{cos}\:\left(\mathrm{2}\alpha+\frac{\pi}{\mathrm{2}}\right)=−\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}} \\ $$$$\mathrm{sin}\:\left(−\mathrm{2}\alpha\right)=−\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{sin}\:\left(\mathrm{2}\alpha\right)=\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}}\:\checkmark \\ $$