Question Number 206108 by MATHEMATICSAM last updated on 07/Apr/24
$$\mathrm{If}\:{x}\:=\:\sqrt{\frac{\sqrt{\mathrm{5}}\:+\:\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{5}}\:−\:\mathrm{1}}}\:\mathrm{then}\:{x}^{\mathrm{12}} \:=\:? \\ $$
Answered by mr W last updated on 07/Apr/24
$${x}=\sqrt{\frac{\sqrt{\mathrm{5}}+\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{5}}−\mathrm{1}}}=\frac{\sqrt{\mathrm{5}}+\mathrm{1}}{\mathrm{2}}=\varphi \\ $$$${x}^{\mathrm{2}} ={x}+\mathrm{1} \\ $$$${x}^{\mathrm{4}} =\left({x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} ={x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}{x}+\mathrm{1}=\mathrm{3}{x}+\mathrm{2} \\ $$$${x}^{\mathrm{8}} =\mathrm{9}{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{12}{x}+\mathrm{4}=\mathrm{21}{x}+\mathrm{13} \\ $$$${x}^{\mathrm{12}} =\left(\mathrm{21}{x}+\mathrm{13}\right)\left(\mathrm{3}{x}+\mathrm{2}\right)=\mathrm{63}{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{81}{x}+\mathrm{26} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:=\mathrm{144}{x}+\mathrm{89} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:=\mathrm{144}×\frac{\sqrt{\mathrm{5}}+\mathrm{1}}{\mathrm{2}}+\mathrm{89}=\mathrm{161}+\mathrm{72}\sqrt{\mathrm{5}}\:\checkmark \\ $$
Answered by Rasheed.Sindhi last updated on 07/Apr/24
$$\mathrm{If}\:{x}\:=\:\sqrt{\frac{\sqrt{\mathrm{5}}\:+\:\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{5}}\:−\:\mathrm{1}}}\:\mathrm{then}\:{x}^{\mathrm{12}} \:=\:? \\ $$$${x}\:=\:\sqrt{\frac{\sqrt{\mathrm{5}}\:+\:\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{5}}\:−\:\mathrm{1}}×\frac{\sqrt{\mathrm{5}}+\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{5}}+\mathrm{1}}}\: \\ $$$$\:\:\:=\sqrt{\frac{\left(\sqrt{\mathrm{5}}\:+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }{\mathrm{5}−\mathrm{1}}}\: \\ $$$$\:\:\:\:\:=\frac{\sqrt{\mathrm{5}}\:+\mathrm{1}}{\mathrm{2}} \\ $$$${x}^{\mathrm{2}} =\frac{\mathrm{5}+\mathrm{1}+\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{5}}\:}{\mathrm{4}}=\frac{\mathrm{3}+\sqrt{\mathrm{5}}}{\mathrm{2}} \\ $$$${x}^{\mathrm{4}} =\frac{\mathrm{9}+\mathrm{5}+\mathrm{6}\sqrt{\mathrm{5}}}{\mathrm{4}}=\frac{\mathrm{7}+\mathrm{3}\sqrt{\mathrm{5}}}{\mathrm{2}} \\ $$$$\left({x}^{\mathrm{4}} \right)^{\mathrm{3}} =\left(\frac{\mathrm{7}+\mathrm{3}\sqrt{\mathrm{5}}}{\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{3}} \\ $$$$\:\:{x}^{\mathrm{12}} =\frac{\mathrm{343}+\mathrm{27}\centerdot\mathrm{5}\sqrt{\mathrm{5}}\:+\mathrm{3}\left(\mathrm{7}\right)\left(\mathrm{3}\sqrt{\mathrm{5}}\:\right)\left(\mathrm{7}+\mathrm{3}\sqrt{\mathrm{5}}\right)}{\mathrm{8}} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:=\frac{\mathrm{343}+\mathrm{135}\sqrt{\mathrm{5}}\:+\mathrm{63}\sqrt{\mathrm{5}}\:\left(\mathrm{7}+\mathrm{3}\sqrt{\mathrm{5}}\:\right)}{\mathrm{8}} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:=\frac{\mathrm{343}+\mathrm{135}\sqrt{\mathrm{5}}\:+\mathrm{441}\sqrt{\mathrm{5}}\:+\mathrm{189}\centerdot\mathrm{5}}{\mathrm{8}} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:=\frac{\mathrm{1288}+\mathrm{576}\sqrt{\mathrm{5}}}{\mathrm{8}}=\mathrm{161}+\mathrm{72}\sqrt{\mathrm{5}}\: \\ $$
Answered by Rasheed.Sindhi last updated on 07/Apr/24
$${x}^{\mathrm{2}} =\frac{\sqrt{\mathrm{5}}\:+\:\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{5}}\:−\:\mathrm{1}} \\ $$$$\frac{{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}=\frac{\sqrt{\mathrm{5}}}{\mathrm{1}}\:\:\left[{comp}.\:\&\:{divid}.\right] \\ $$$$\frac{{x}^{\mathrm{4}} +\mathrm{2}{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{4}} −\mathrm{2}{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}=\mathrm{5} \\ $$$${x}^{\mathrm{4}} −\mathrm{3}{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}=\mathrm{0} \\ $$$${x}^{\mathrm{4}} =\mathrm{3}{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1} \\ $$$${x}^{\mathrm{6}} =\mathrm{3}{x}^{\mathrm{4}} −{x}^{\mathrm{2}} \\ $$$$\:\:\:\:=\mathrm{3}\left(\mathrm{3}{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)−{x}^{\mathrm{2}} \\ $$$$\:\:\:\:=\mathrm{8}{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{3} \\ $$$${x}^{\mathrm{12}} =\mathrm{64}{x}^{\mathrm{4}} −\mathrm{48}{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{9} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:=\mathrm{64}\left(\mathrm{3}{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)−\mathrm{48}{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{9} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:=\mathrm{144}{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{55} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:=\mathrm{144}\left(\frac{\sqrt{\mathrm{5}}\:+\:\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{5}}\:−\:\mathrm{1}}\right)−\mathrm{55} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:=\mathrm{144}\left(\frac{\left(\sqrt{\mathrm{5}}\:+\:\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }{\:\mathrm{4}}\right)−\mathrm{55} \\ $$$$\:\:\:\:\:=\mathrm{36}\left(\mathrm{5}+\mathrm{1}+\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{5}}\:\right)−\mathrm{55} \\ $$$$\:\:\:\:=\mathrm{161}+\mathrm{72}\sqrt{\mathrm{5}}\: \\ $$