Question Number 206868 by depressiveshrek last updated on 28/Apr/24
$$\mathrm{If}\:{A},\:{B}\:\mathrm{and}\:{A}+{B}\:\mathrm{are}\:\mathrm{non}−\mathrm{singular} \\ $$$$\mathrm{square}\:\mathrm{matrices},\:\mathrm{prove}\:\mathrm{that}\:{A}^{−\mathrm{1}} +{B}^{−\mathrm{1}} \\ $$$$\mathrm{is}\:\mathrm{also}\:\mathrm{non}−\mathrm{singular}. \\ $$
Answered by aleks041103 last updated on 28/Apr/24
$${A}^{−\mathrm{1}} +{B}^{−\mathrm{1}} ={A}^{−\mathrm{1}} \left({E}+{AB}^{−\mathrm{1}} \right)= \\ $$$$={A}^{−\mathrm{1}} \left({B}+{A}\right){B}^{−\mathrm{1}} \\ $$$$\Rightarrow{det}\left({A}^{−\mathrm{1}} +{B}^{−\mathrm{1}} \right)={det}\left({A}^{−\mathrm{1}} {B}^{−\mathrm{1}} \left({A}+{B}\right)\right)= \\ $$$$={det}\left({A}^{−\mathrm{1}} \right){det}\left({B}^{−\mathrm{1}} \right){det}\left({A}+{B}\right) \\ $$$$ \\ $$$${Since}\:\exists{A}^{−\mathrm{1}} ,{B}^{−\mathrm{1}} \:\Rightarrow \\ $$$$\Rightarrow{det}\left({A}^{−\mathrm{1}} +{B}^{−\mathrm{1}} \right)=\frac{{det}\left({A}+{B}\right)}{{det}\left({A}\right){det}\left({B}\right)} \\ $$$${Since}\:{A},\:{B}\:{and}\:{A}+{B}\:{are}\:{nonsingular} \\ $$$$\Rightarrow{det}\left({A}\right),\:{det}\left({B}\right),\:{det}\left({A}+{B}\right)\:\neq\:\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow{det}\left({A}^{−\mathrm{1}} +{B}^{−\mathrm{1}} \right)=\frac{{det}\left({A}+{B}\right)}{{det}\left({A}\right){det}\left({B}\right)}\neq\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow{det}\left({A}^{−\mathrm{1}} +{B}^{−\mathrm{1}} \right)\neq\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow{A}^{−\mathrm{1}} +{B}^{−\mathrm{1}} \:{is}\:{also}\:{nonsingular}. \\ $$