x-3-2-x-4-x-5-6-x-2-2-Find-x-

Question Number 207206 by hardmath last updated on 09/May/24

$$\sqrt{\mathrm{x}−\mathrm{3}\:+\:\mathrm{2}\:\sqrt{\mathrm{x}−\mathrm{4}}}\:−\:\sqrt{\mathrm{x}\:+\:\mathrm{5}−\mathrm{6}\:\sqrt{\mathrm{x}−\mathrm{2}}}\:=\:\mathrm{2} \\ $$$$\mathrm{Find}:\:\:\mathrm{x}\:=\:? \\ $$

Answered by A5T last updated on 09/May/24

$$\left(\sqrt{{x}−\mathrm{4}}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} ={x}−\mathrm{3}+\mathrm{2}\sqrt{{x}−\mathrm{4}} \\ $$$$\Rightarrow\sqrt{{x}−\mathrm{3}+\mathrm{2}\sqrt{{x}−\mathrm{4}}}=\sqrt{{x}−\mathrm{4}}+\mathrm{1} \\ $$$${Question}\Rightarrow\sqrt{{x}−\mathrm{4}}−\sqrt{{x}+\mathrm{5}−\mathrm{6}\sqrt{{x}−\mathrm{2}}}=\mathrm{1} \\ $$$$\Rightarrow\sqrt{{x}−\mathrm{4}}=−\mathrm{4}+\mathrm{3}\sqrt{{x}−\mathrm{2}}\Rightarrow\mathrm{3}\sqrt{{x}−\mathrm{2}}−\sqrt{{x}−\mathrm{4}}=\mathrm{4} \\ $$$$\Rightarrow{u}=\sqrt{{x}−\mathrm{2}};{v}=\sqrt{{x}−\mathrm{4}} \\ $$$$\Rightarrow{u}^{\mathrm{2}} −{v}^{\mathrm{2}} =\mathrm{2};\:\mathrm{3}{u}−{v}=\mathrm{4}\Rightarrow{v}=\mathrm{3}{u}−\mathrm{4} \\ $$$$\Rightarrow{u}^{\mathrm{2}} −\left(\mathrm{3}{u}−\mathrm{4}\right)^{\mathrm{2}} =\mathrm{2}\Rightarrow{u}^{\mathrm{2}} −\mathrm{9}{u}^{\mathrm{2}} −\mathrm{16}+\mathrm{24}{u}=\mathrm{2} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{8}{u}^{\mathrm{2}} −\mathrm{24}{u}+\mathrm{18}=\mathrm{0}\Rightarrow\mathrm{4}{u}^{\mathrm{2}} −\mathrm{12}{u}+\mathrm{9}=\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow{u}=\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}\Rightarrow{u}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}={x}=\frac{\mathrm{9}}{\mathrm{4}}+\mathrm{2}=\frac{\mathrm{17}}{\mathrm{4}} \\ $$$${Substituting}\:{x}=\frac{\mathrm{17}}{\mathrm{4}}\:{gives}\:\mathrm{1}\neq\mathrm{2},{contradiction}\rightarrow\leftarrow \\ $$$${Hence},{no}\:{solution}\:{exists}. \\ $$

Commented by hardmath last updated on 09/May/24

$$\mathrm{thank}\:\mathrm{you}\:\mathrm{dear}\:\mathrm{professor} \\ $$

Commented by hardmath last updated on 10/May/24

$$\mathrm{thank}\:\mathrm{you}\:\mathrm{dear}\:\mathrm{professor} \\ $$

Answered by Frix last updated on 09/May/24

$$\mathrm{1}.\:\mathrm{0}\leqslant{x}−\mathrm{4} \\ $$$$\Rightarrow\:\mathrm{4}\leqslant{x}\:\Rightarrow\:\mathrm{1}\leqslant\sqrt{{x}−\mathrm{3}+\mathrm{2}\sqrt{{x}−\mathrm{4}}} \\ $$$$\mathrm{2}.\:\mathrm{0}\leqslant{x}+\mathrm{5}−\mathrm{6}\sqrt{{x}−\mathrm{2}} \\ $$$$\Rightarrow\:\mathrm{2}\leqslant{x}\leqslant\mathrm{13}−\mathrm{6}\sqrt{\mathrm{2}}\vee{x}\geqslant\mathrm{13}+\mathrm{6}\sqrt{\mathrm{2}} \\ $$$$================= \\ $$$$\Rightarrow\:\mathrm{4}\leqslant{x}\leqslant\mathrm{13}−\mathrm{6}\sqrt{\mathrm{2}}\vee{x}\geqslant\mathrm{13}+\mathrm{6}\sqrt{\mathrm{2}} \\ $$$${A}.\:\mathrm{4}\leqslant{x}\leqslant\mathrm{13}−\mathrm{6}\sqrt{\mathrm{2}} \\ $$$$\Rightarrow\:\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{3}}−\sqrt{\mathrm{6}}\leqslant\sqrt{{x}−\mathrm{3}+\mathrm{2}\sqrt{{x}−\mathrm{4}}}−\sqrt{{x}+\mathrm{5}−\mathrm{6}\sqrt{{x}−\mathrm{2}}}\leqslant\mathrm{1}−\sqrt{\mathrm{3}}+\sqrt{\mathrm{6}} \\ $$$$\:\:\:\:\:\left[\approx\:.\mathrm{283}\leqslant\mathrm{lhs}\leqslant\mathrm{1}.\mathrm{717}\right] \\ $$$${B}.\:\mathrm{13}+\mathrm{6}\sqrt{\mathrm{2}}\leqslant{x} \\ $$$$\Rightarrow\:\mathrm{4}<\sqrt{{x}−\mathrm{3}+\mathrm{2}\sqrt{{x}−\mathrm{4}}}−\sqrt{{x}+\mathrm{5}−\mathrm{6}\sqrt{{x}−\mathrm{2}}}\leqslant\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{3}}+\sqrt{\mathrm{6}} \\ $$$$\:\:\:\:\:\left[\approx\:\mathrm{4}<\mathrm{lhs}\leqslant\mathrm{5}.\mathrm{182}\right] \\ $$$$ \\ $$$$\Rightarrow\:\mathrm{no}\:\mathrm{solution} \\ $$

Commented by hardmath last updated on 10/May/24

$$\mathrm{thank}\:\mathrm{you}\:\mathrm{dear}\:\mathrm{professor} \\ $$

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