Question Number 207724 by hardmath last updated on 24/May/24
$$\mathrm{2}\:\mathrm{tg}^{\mathrm{3}} \:\boldsymbol{\mathrm{x}}\:β\:\mathrm{2}\:\mathrm{tg}^{\mathrm{2}} \:\boldsymbol{\mathrm{x}}\:+\:\mathrm{6}\:\mathrm{tg}\:\boldsymbol{\mathrm{x}}\:=\:\mathrm{3}\:\:\:,\:\:\:\left[\mathrm{0}\:;\:\mathrm{2}\boldsymbol{\pi}\right] \\ $$$$\mathrm{Sum}\:\mathrm{of}\:\mathrm{roots}\:=\:? \\ $$
Answered by Frix last updated on 24/May/24
$$\mathrm{tan}^{\mathrm{3}} \:{x}\:β\mathrm{tan}^{\mathrm{2}} \:{x}\:+\mathrm{3tan}\:{x}\:β\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}=\mathrm{0} \\ $$$${t}=\mathrm{tan}\:{x} \\ $$$${t}^{\mathrm{3}} β{t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3}{t}β\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{3}}=\mathrm{0} \\ $$$${t}={z}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}} \\ $$$${z}^{\mathrm{3}} +\frac{\mathrm{8}{z}}{\mathrm{3}}β\frac{\mathrm{31}}{\mathrm{54}}=\mathrm{0} \\ $$$${z}=\left(\frac{\mathrm{31}}{\mathrm{108}}+\frac{\sqrt{\mathrm{113}}}{\mathrm{12}}\right)^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}} β\left(β\frac{\mathrm{31}}{\mathrm{108}}+\frac{\sqrt{\mathrm{113}}}{\mathrm{12}}\right)^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}} \\ $$$${t}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}+\left(\frac{\mathrm{31}}{\mathrm{108}}+\frac{\sqrt{\mathrm{113}}}{\mathrm{12}}\right)^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}} β\left(β\frac{\mathrm{31}}{\mathrm{108}}+\frac{\sqrt{\mathrm{113}}}{\mathrm{12}}\right)^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}} \\ $$$${x}_{\mathrm{1}} =\mathrm{tan}^{β\mathrm{1}} \:\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}+\left(\frac{\mathrm{31}}{\mathrm{108}}+\frac{\sqrt{\mathrm{113}}}{\mathrm{12}}\right)^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}} β\left(β\frac{\mathrm{31}}{\mathrm{108}}+\frac{\sqrt{\mathrm{113}}}{\mathrm{12}}\right)^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}} \right) \\ $$$${x}_{\mathrm{2}} ={x}_{\mathrm{1}} +\pi \\ $$$$\mathrm{Sum}\:\mathrm{of}\:\mathrm{roots}\:\mathrm{is} \\ $$$$\pi+\mathrm{2tan}^{β\mathrm{1}} \:\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}+\left(\frac{\mathrm{31}}{\mathrm{108}}+\frac{\sqrt{\mathrm{113}}}{\mathrm{12}}\right)^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}} β\left(β\frac{\mathrm{31}}{\mathrm{108}}+\frac{\sqrt{\mathrm{113}}}{\mathrm{12}}\right)^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}} \right) \\ $$$$\mathrm{Not}\:\mathrm{very}\:\mathrm{nice}\:\mathrm{but}\:\mathrm{true}\:\mathrm{anyway}… \\ $$
Commented by hardmath last updated on 25/May/24
$$\mathrm{thank}\:\mathrm{you}\:\mathrm{dear}\:\mathrm{professor} \\ $$