Question Number 208062 by mathzup last updated on 03/Jun/24
$${find}\:\:\int_{\mathrm{4}} ^{\infty} \:\:\:\:\frac{{dx}}{\left({x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{3}} \left({x}−\mathrm{3}\right)^{\mathrm{5}} } \\ $$
Answered by Frix last updated on 03/Jun/24
$$\mathrm{Use}\:\mathrm{Ostrogradski}'\mathrm{s}\:\mathrm{Method}\:\left(\mathrm{search}\:\mathrm{it}\:\mathrm{on}\right. \\ $$$$\left.\mathrm{the}\:{www}\right) \\ $$$$\int\frac{{dx}}{\left({x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{3}} \left({x}−\mathrm{3}\right)^{\mathrm{5}} }=\frac{\mathrm{15}}{\mathrm{4096}}\int\frac{{dx}}{\left({x}+\mathrm{1}\right)\left({x}+\mathrm{3}\right)}+ \\ $$$$+\frac{\mathrm{15}{x}^{\mathrm{5}} −\mathrm{135}{x}^{\mathrm{4}} +\mathrm{350}{x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{10}{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{877}{x}+\mathrm{125}}{\mathrm{4096}\left({x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} \left({x}−\mathrm{3}\right)^{\mathrm{4}} }= \\ $$$$=\frac{\mathrm{15ln}\:\mid\frac{{x}−\mathrm{3}}{{x}+\mathrm{1}}\mid}{\mathrm{16384}}+\frac{\mathrm{15}{x}^{\mathrm{5}} −\mathrm{135}{x}^{\mathrm{4}} +\mathrm{350}{x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{10}{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{877}{x}+\mathrm{125}}{\mathrm{4096}\left({x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} \left({x}−\mathrm{3}\right)^{\mathrm{4}} }+{C} \\ $$$$\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{Answer}\:\mathrm{is}\:\frac{\mathrm{23}}{\mathrm{102400}}+\frac{\mathrm{15ln}\:\mathrm{5}}{\mathrm{16374}} \\ $$