Question Number 208453 by hardmath last updated on 16/Jun/24
$$\mathrm{If}\:\:\:\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\:=\:\frac{\left(\mathrm{2a}\:+\:\mathrm{1}\right)\centerdot\mathrm{x}\:+\:\mathrm{1}}{\mathrm{x}\:−\:\mathrm{a}}\:\:\:\mathrm{and}\:\:\:\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\:=\:\mathrm{f}^{−\mathrm{1}} \left(\mathrm{x}\right) \\ $$$$\mathrm{Find}:\:\:\:\mathrm{a}^{\mathrm{2}} \:+\:\mathrm{3}\:=\:? \\ $$
Answered by efronzo1 last updated on 16/Jun/24
$$\:\mathrm{f}^{−\mathrm{1}} \left(\mathrm{x}\right)=\frac{\mathrm{ax}+\mathrm{1}}{\mathrm{x}−\left(\mathrm{2a}+\mathrm{1}\right)}\:=\:\frac{\left(\mathrm{2a}+\mathrm{1}\right)\mathrm{x}+\mathrm{1}}{\mathrm{x}−\mathrm{a}} \\ $$$$\:\left(\mathrm{ax}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{x}−\mathrm{a}\right)=\:\left(\mathrm{x}−\left(\mathrm{2a}+\mathrm{1}\right)\right)\left(\left(\mathrm{2a}+\mathrm{1}\right)\mathrm{x}+\mathrm{1}\right) \\ $$$$\:\:\mathrm{ax}^{\mathrm{2}} −\left(\mathrm{a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)\mathrm{x}−\mathrm{a}=\left(\mathrm{2a}+\mathrm{1}\right)\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\left(\mathrm{1}−\left(\mathrm{2a}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} \right)\mathrm{x}−\left(\mathrm{2a}+\mathrm{1}\right) \\ $$$$\:\:\Rightarrow\mathrm{a}=\mathrm{2a}+\mathrm{1}\:;\:\mathrm{a}=−\mathrm{1} \\ $$$$\:\:\Rightarrow\mathrm{a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3}\:=\:\mathrm{4} \\ $$
Answered by MM42 last updated on 16/Jun/24
$${f}\left({f}\left(\mathrm{0}\right)\right)=\mathrm{0}\Rightarrow{f}\left(−\frac{\mathrm{1}}{{a}}\right)=\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow\frac{\left(\mathrm{2}{a}+\mathrm{1}\right)\left(−\frac{\mathrm{1}}{{a}}\right)+\mathrm{1}}{−\frac{\mathrm{1}}{{a}}−{a}}=\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow\frac{\mathrm{2}{a}+\mathrm{1}}{{a}}=\mathrm{1}\Rightarrow{a}=−\mathrm{1}\Rightarrow{a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3}=\mathrm{4}\:\checkmark \\ $$
Commented by hardmath last updated on 16/Jun/24
$$\mathrm{thankyou}\:\mathrm{dear}\:\mathrm{professor} \\ $$