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Find-x-3-x-lt-4-

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Question Number 208594 by Jimenez000 last updated on 18/Jun/24
Find x+3^x <4
$${Find} \\ $$$${x}+\mathrm{3}^{{x}} <\mathrm{4} \\ $$
Answered by mr W last updated on 18/Jun/24
3^x <4−x (4−x)3^(−x) >1 (4−x)3^(4−x) >3^4 (4−x)ln 3 e^((4−x)ln 3) >3^4 ln 3 (4−x)ln 3>W(3^4 ln 3) x<4−((W(3^4 ln 3))/(ln 3))=1
$$\mathrm{3}^{{x}} <\mathrm{4}−{x} \\ $$$$\left(\mathrm{4}−{x}\right)\mathrm{3}^{−{x}} >\mathrm{1} \\ $$$$\left(\mathrm{4}−{x}\right)\mathrm{3}^{\mathrm{4}−{x}} >\mathrm{3}^{\mathrm{4}} \\ $$$$\left(\mathrm{4}−{x}\right)\mathrm{ln}\:\mathrm{3}\:{e}^{\left(\mathrm{4}−{x}\right)\mathrm{ln}\:\mathrm{3}} >\mathrm{3}^{\mathrm{4}} \mathrm{ln}\:\mathrm{3} \\ $$$$\left(\mathrm{4}−{x}\right)\mathrm{ln}\:\mathrm{3}>{W}\left(\mathrm{3}^{\mathrm{4}} \mathrm{ln}\:\mathrm{3}\right) \\ $$$${x}<\mathrm{4}−\frac{{W}\left(\mathrm{3}^{\mathrm{4}} \mathrm{ln}\:\mathrm{3}\right)}{\mathrm{ln}\:\mathrm{3}}=\mathrm{1} \\ $$
Commented by Jimenez000 last updated on 18/Jun/24
From step 3 to 4, what exactly did do you?, i can′t see it
$$\mathrm{From}\:\mathrm{step}\:\mathrm{3}\:\mathrm{to}\:\mathrm{4},\:\mathrm{what}\:\mathrm{exactly}\:\mathrm{did}\:\mathrm{do}\:\mathrm{you}?,\:\mathrm{i}\:\mathrm{can}'\mathrm{t}\:\mathrm{see}\:\mathrm{it} \\ $$
Commented by mr W last updated on 18/Jun/24
say W(3^4 ln 3)=a ae^a =3^4 ln 3=3^3 (3ln 3)=(3 ln 3)e^((3 ln 3)) ⇒a=3 ln 3 4−((W(3^4 ln 3))/(ln 3))=4−((3 ln 3)/(ln 3))=4−3=1
$${say}\:{W}\left(\mathrm{3}^{\mathrm{4}} \mathrm{ln}\:\mathrm{3}\right)={a} \\ $$$${ae}^{{a}} =\mathrm{3}^{\mathrm{4}} \mathrm{ln}\:\mathrm{3}=\mathrm{3}^{\mathrm{3}} \left(\mathrm{3ln}\:\mathrm{3}\right)=\left(\mathrm{3}\:\mathrm{ln}\:\mathrm{3}\right){e}^{\left(\mathrm{3}\:\mathrm{ln}\:\mathrm{3}\right)} \\ $$$$\Rightarrow{a}=\mathrm{3}\:\mathrm{ln}\:\mathrm{3} \\ $$$$\mathrm{4}−\frac{{W}\left(\mathrm{3}^{\mathrm{4}} \mathrm{ln}\:\mathrm{3}\right)}{\mathrm{ln}\:\mathrm{3}}=\mathrm{4}−\frac{\mathrm{3}\:\mathrm{ln}\:\mathrm{3}}{\mathrm{ln}\:\mathrm{3}}=\mathrm{4}−\mathrm{3}=\mathrm{1} \\ $$
Commented by Jimenez000 last updated on 18/Jun/24
Thank you so much mr W
$$\mathrm{Thank}\:\mathrm{you}\:\mathrm{so}\:\mathrm{much}\:\mathrm{mr}\:\mathrm{W} \\ $$
Commented by Kademi last updated on 18/Jun/24
W(xe^x ) = x W(a^c ln a) = W(a^(a^b +b) ln a) = W(a^b ln a∙e^(a^b ln a) ) = a^b ln a
$$\: \\ $$$$\:{W}\left({xe}^{{x}} \right)\:=\:{x} \\ $$$$\:{W}\left({a}^{{c}} \mathrm{ln}\:{a}\right)\:=\:{W}\left({a}^{{a}^{{b}} +{b}} \mathrm{ln}\:{a}\right)\:=\:{W}\left({a}^{{b}} \mathrm{ln}\:{a}\centerdot{e}^{{a}^{{b}} \mathrm{ln}\:{a}} \right)\:=\:{a}^{{b}} \mathrm{ln}\:{a} \\ $$
Answered by Jimenez000 last updated on 18/Jun/24
3^x <4−x xln 3<ln (4−x) x<((ln (4−x))/(ln 3)) I don′t know how to continue
$$\mathrm{3}^{{x}} <\mathrm{4}−{x} \\ $$$${x}\mathrm{ln}\:\mathrm{3}<\mathrm{ln}\:\left(\mathrm{4}−{x}\right) \\ $$$${x}<\frac{\mathrm{ln}\:\left(\mathrm{4}−{x}\right)}{\mathrm{ln}\:\mathrm{3}} \\ $$$$\mathrm{I}\:\mathrm{don}'\mathrm{t}\:\mathrm{know}\:\mathrm{how}\:\mathrm{to}\:\mathrm{continue} \\ $$
Commented by Kademi last updated on 18/Jun/24
x < ((ln (4−x))/(ln 3)) x < ((4−x)/3) 3x < 4−x 4x−4 < 0 4(x−1) < 0 { ((4 < 0 ⇒ 4 > 0)),((x−1 < 0 ⇒ x < 1)) :}
$$\:{x}\:<\:\frac{\mathrm{ln}\:\left(\mathrm{4}−{x}\right)}{\mathrm{ln}\:\mathrm{3}} \\ $$$$\:{x}\:<\:\frac{\mathrm{4}−{x}}{\mathrm{3}} \\ $$$$\mathrm{3}{x}\:<\:\mathrm{4}−{x} \\ $$$$\mathrm{4}{x}−\mathrm{4}\:<\:\mathrm{0} \\ $$$$\:\mathrm{4}\left({x}−\mathrm{1}\right)\:<\:\mathrm{0} \\ $$$$\:\begin{cases}{\mathrm{4}\:\cancel{<}\:\mathrm{0}\:\Rightarrow\:\mathrm{4}\:>\:\mathrm{0}}\\{{x}−\mathrm{1}\:<\:\mathrm{0}\:\Rightarrow\:{x}\:<\:\mathrm{1}}\end{cases} \\ $$
Commented by Jimenez000 last updated on 18/Jun/24
What is the property in the step 2 to remove ln?
$$\mathrm{What}\:\mathrm{is}\:\mathrm{the}\:\mathrm{property}\:\mathrm{in}\:\mathrm{the}\:\mathrm{step}\:\mathrm{2}\:\:\mathrm{to}\: \\ $$$$\mathrm{remove}\:\mathrm{ln}? \\ $$
Answered by mr W last updated on 18/Jun/24
f(x)=x+3^x f′(x)=1+3^x ln 3>0 ⇒strictly increasing f(1)=1+3^1 =4 f(x)=x+3^x <4=f(1) ⇒x<1
$${f}\left({x}\right)={x}+\mathrm{3}^{{x}} \\ $$$${f}'\left({x}\right)=\mathrm{1}+\mathrm{3}^{{x}} \mathrm{ln}\:\mathrm{3}>\mathrm{0}\:\Rightarrow{strictly}\:{increasing} \\ $$$${f}\left(\mathrm{1}\right)=\mathrm{1}+\mathrm{3}^{\mathrm{1}} =\mathrm{4} \\ $$$${f}\left({x}\right)={x}+\mathrm{3}^{{x}} <\mathrm{4}={f}\left(\mathrm{1}\right) \\ $$$$\Rightarrow{x}<\mathrm{1} \\ $$
Answered by Kademi last updated on 18/Jun/24
3^x < 4−x e^(xln 3) < 4−x 1 < (4−x)e^(−xln 3) ln 3e^(4ln 3) < (4−x)ln 3e^(4ln 3−xln 3) ln 3e^(ln 3^4 ) < (4−x)ln 3e^((4−x)ln 3) W(3^4 ln 3) < W((4−x)ln 3e^((4−x)ln 3) ) W(3^4 ln 3) < (4−x)ln 3 ((W(3^4 ln 3))/(ln 3)) < 4−x x < 4−((W(3^4 ln 3))/(ln 3)) x < 4−((W(3ln 3e^(3ln 3) ))/(ln 3)) x < 4−((3ln 3)/(ln 3)) x < 4−3 x < 1
$$\: \\ $$$$\:\mathrm{3}^{{x}} \:<\:\mathrm{4}−{x} \\ $$$$\:{e}^{{x}\mathrm{ln}\:\mathrm{3}} \:<\:\mathrm{4}−{x} \\ $$$$\:\mathrm{1}\:<\:\left(\mathrm{4}−{x}\right){e}^{−{x}\mathrm{ln}\:\mathrm{3}} \\ $$$$\:\mathrm{ln}\:\mathrm{3}{e}^{\mathrm{4ln}\:\mathrm{3}} \:<\:\left(\mathrm{4}−{x}\right)\mathrm{ln}\:\mathrm{3}{e}^{\mathrm{4ln}\:\mathrm{3}−{x}\mathrm{ln}\:\mathrm{3}} \\ $$$$\:\mathrm{ln}\:\mathrm{3}{e}^{\mathrm{ln}\:\mathrm{3}^{\mathrm{4}} } \:<\:\left(\mathrm{4}−{x}\right)\mathrm{ln}\:\mathrm{3}{e}^{\left(\mathrm{4}−{x}\right)\mathrm{ln}\:\mathrm{3}} \\ $$$$\:{W}\left(\mathrm{3}^{\mathrm{4}} \mathrm{ln}\:\mathrm{3}\right)\:<\:{W}\left(\left(\mathrm{4}−{x}\right)\mathrm{ln}\:\mathrm{3}{e}^{\left(\mathrm{4}−{x}\right)\mathrm{ln}\:\mathrm{3}} \right) \\ $$$$\:{W}\left(\mathrm{3}^{\mathrm{4}} \mathrm{ln}\:\mathrm{3}\right)\:<\:\left(\mathrm{4}−{x}\right)\mathrm{ln}\:\mathrm{3} \\ $$$$\:\frac{{W}\left(\mathrm{3}^{\mathrm{4}} \mathrm{ln}\:\mathrm{3}\right)}{\mathrm{ln}\:\mathrm{3}}\:<\:\mathrm{4}−{x} \\ $$$$\:{x}\:<\:\mathrm{4}−\frac{{W}\left(\mathrm{3}^{\mathrm{4}} \mathrm{ln}\:\mathrm{3}\right)}{\mathrm{ln}\:\mathrm{3}} \\ $$$$\:{x}\:<\:\mathrm{4}−\frac{{W}\left(\mathrm{3ln}\:\mathrm{3}{e}^{\mathrm{3ln}\:\mathrm{3}} \right)}{\mathrm{ln}\:\mathrm{3}} \\ $$$$\:{x}\:<\:\mathrm{4}−\frac{\mathrm{3ln}\:\mathrm{3}}{\mathrm{ln}\:\mathrm{3}} \\ $$$$\:{x}\:<\:\mathrm{4}−\mathrm{3} \\ $$$$\:{x}\:<\:\mathrm{1} \\ $$$$\: \\ $$$$ \\ $$
Commented by Jimenez000 last updated on 18/Jun/24
Thank you Kademi
$$\mathrm{Thank}\:\mathrm{you}\:\mathrm{Kademi} \\ $$

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