Question Number 210127 by essaad last updated on 31/Jul/24
Answered by lepuissantcedricjunior last updated on 01/Aug/24
![∫_1 ^2 ((ln(1+x)−lnx)/x^2 )dx=∫_1 ^2 ((ln(1+x))/x^2 )dx−∫_0 ^2 ((lnx)/x^2 )dx { ((u=ln(1+x)−lnx)),((v′=(1/x^2 ))) :}=> { ((u′=(1/(1+x))−(1/x))),((v=−(1/x))) :} =[((lnx−ln(1+x))/x)]_1 ^2 −∫_1 ^2 ((1/x^2 )−(1/(x(1+x))))dx =((3ln2−ln3)/2)−∫_0 ^2 ((1/x^2 )−(1/x)+(1/(1+x)))dx =((3ln2−ln3)/2)−[−(1/x)−lnx+ln(1+x)]_1 ^2 =((3ln2−ln3)/2)−[(1/2)−2ln2+ln3] =((3ln2−ln3+4ln2−2ln3)/2)−(1/2) i=(7/2)ln2−(3/2)ln3−(1/2)](https://www.tinkutara.com/question/Q210143.png)
$$\int_{\mathrm{1}} ^{\mathrm{2}} \frac{\boldsymbol{{ln}}\left(\mathrm{1}+\boldsymbol{{x}}\right)−\boldsymbol{{lnx}}}{\boldsymbol{{x}}^{\mathrm{2}} }\boldsymbol{{dx}}=\int_{\mathrm{1}} ^{\mathrm{2}} \frac{\boldsymbol{{ln}}\left(\mathrm{1}+\boldsymbol{{x}}\right)}{\boldsymbol{{x}}^{\mathrm{2}} }\boldsymbol{{dx}}−\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{2}} \frac{\boldsymbol{{lnx}}}{\boldsymbol{{x}}^{\mathrm{2}} }\boldsymbol{{dx}} \\ $$$$\begin{cases}{\boldsymbol{{u}}=\boldsymbol{{ln}}\left(\mathrm{1}+\boldsymbol{{x}}\right)−\boldsymbol{{lnx}}}\\{\boldsymbol{{v}}'=\frac{\mathrm{1}}{\boldsymbol{{x}}^{\mathrm{2}} }}\end{cases}=>\begin{cases}{\boldsymbol{{u}}'=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}+\boldsymbol{{x}}}−\frac{\mathrm{1}}{\boldsymbol{{x}}}}\\{\boldsymbol{{v}}=−\frac{\mathrm{1}}{\boldsymbol{{x}}}}\end{cases} \\ $$$$=\left[\frac{\boldsymbol{{lnx}}−\boldsymbol{{ln}}\left(\mathrm{1}+\boldsymbol{{x}}\right)}{\boldsymbol{{x}}}\right]_{\mathrm{1}} ^{\mathrm{2}} −\int_{\mathrm{1}} ^{\mathrm{2}} \left(\frac{\mathrm{1}}{\boldsymbol{{x}}^{\mathrm{2}} }−\frac{\mathrm{1}}{\boldsymbol{{x}}\left(\mathrm{1}+\boldsymbol{{x}}\right)}\right)\boldsymbol{{dx}} \\ $$$$=\frac{\mathrm{3}\boldsymbol{{ln}}\mathrm{2}−\boldsymbol{{ln}}\mathrm{3}}{\mathrm{2}}−\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{2}} \left(\frac{\mathrm{1}}{\boldsymbol{{x}}^{\mathrm{2}} }−\frac{\mathrm{1}}{\boldsymbol{{x}}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}+\boldsymbol{{x}}}\right)\boldsymbol{{dx}} \\ $$$$=\frac{\mathrm{3}\boldsymbol{{ln}}\mathrm{2}−\boldsymbol{{ln}}\mathrm{3}}{\mathrm{2}}−\left[−\frac{\mathrm{1}}{\boldsymbol{{x}}}−\boldsymbol{{lnx}}+\boldsymbol{{ln}}\left(\mathrm{1}+\boldsymbol{{x}}\right)\right]_{\mathrm{1}} ^{\mathrm{2}} \\ $$$$=\frac{\mathrm{3}\boldsymbol{{ln}}\mathrm{2}−\boldsymbol{{ln}}\mathrm{3}}{\mathrm{2}}−\left[\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}−\mathrm{2}\boldsymbol{{ln}}\mathrm{2}+\boldsymbol{{ln}}\mathrm{3}\right] \\ $$$$=\frac{\mathrm{3}\boldsymbol{{ln}}\mathrm{2}−\boldsymbol{{ln}}\mathrm{3}+\mathrm{4}\boldsymbol{{ln}}\mathrm{2}−\mathrm{2}\boldsymbol{{ln}}\mathrm{3}}{\mathrm{2}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}} \\ $$$$\boldsymbol{{i}}=\frac{\mathrm{7}}{\mathrm{2}}\boldsymbol{{ln}}\mathrm{2}−\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}\boldsymbol{{ln}}\mathrm{3}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}} \\ $$