1-2-3-n-irrational-

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Question Number 210467 by maths_plus last updated on 09/Aug/24

$$\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{2}}+\sqrt{\mathrm{3}}+…+\sqrt{\mathrm{n}}\:\:\:\mathrm{irrational}\:??? \\ $$

Answered by Frix last updated on 10/Aug/24

$$\mathrm{Yes}!!! \\ $$

Commented by maths_plus last updated on 10/Aug/24

$$\mathrm{please},\:\mathrm{prove}\:\mathrm{it}\:! \\ $$

Answered by TonyCWX08 last updated on 10/Aug/24

This can be converted to ∫_1 ^∞ ((√n))dn =l_a i_⇒ m_∞ [∫_1 ^a ((√n))dn] =l_a i_⇒ m_∞ [((2n(√n))/3)]_1 ^a =l_a i_⇒ m_∞ [((2a(√a))/3)−(2/3)] =∞ =Diverges

$${This}\:{can}\:{be}\:{converted}\:{to}\: \\ $$$$\int_{\mathrm{1}} ^{\infty} \left(\sqrt{{n}}\right){dn} \\ $$$$=\underset{{a}} {{l}}\underset{\Rightarrow} {{i}}\underset{\infty} {{m}}\:\left[\int_{\mathrm{1}} ^{{a}} \left(\sqrt{{n}}\right){dn}\right] \\ $$$$=\underset{{a}} {{l}}\underset{\Rightarrow} {{i}}\underset{\infty} {{m}}\:\left[\frac{\mathrm{2}{n}\sqrt{{n}}}{\mathrm{3}}\right]_{\mathrm{1}} ^{{a}} \\ $$$$=\underset{{a}} {{l}}\underset{\Rightarrow} {{i}}\underset{\infty} {{m}}\:\left[\frac{\mathrm{2}{a}\sqrt{{a}}}{\mathrm{3}}−\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}}\right] \\ $$$$=\infty \\ $$$$={Diverges} \\ $$

Answered by Frix last updated on 10/Aug/24

(√2) is incommensurable to any q∈Q Let q_j ∈Q Σ_(k=1) ^n (√n)=1+(√2)+Σ_(k=3) ^n (√n) (1+(√2)+Σ_(k=3) ^n (√n))∈Q ⇒ Σ_(k=3) ^n (√n)=q_1 −(√2) Σ_(k=3) ^n (√n)=2+(√3)+Σ_(k=5) ^n (√n) (2+(√3)+Σ_(k=5) ^n (√n))∈Q ⇒ Σ_(k=5) ^n (√n)=q_2 −(√3) Σ_(k=5) ^n (√n)=3+(√5)+(√6)+(√7)+(√8)+Σ_(k=10) ^n (√n) ... ⇒ for n∈N you never reach Σ_(k=1) ^n (√n)∈Q because at least the greatest prime p≤n gives (√p) which again is incommensurable to any q∈Q, so if Σ_(k=1) ^m (√n)=q_m ∈Q we have q_m +(√(m+1))+(√(m+2))+...(√p)+...(√(n−1))+(√n)∉Q and lim_(n→∞) Σ_(k=1) ^n (√n) =+∞ ∉Q

$$\sqrt{\mathrm{2}}\:\mathrm{is}\:\mathrm{incommensurable}\:\mathrm{to}\:\mathrm{any}\:{q}\in\mathbb{Q} \\ $$$$\mathrm{Let}\:{q}_{{j}} \in\mathbb{Q} \\ $$$$\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\sqrt{{n}}=\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{2}}+\underset{{k}=\mathrm{3}} {\overset{{n}} {\sum}}\sqrt{{n}} \\ $$$$\left(\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{2}}+\underset{{k}=\mathrm{3}} {\overset{{n}} {\sum}}\sqrt{{n}}\right)\in\mathbb{Q}\:\Rightarrow\:\underset{{k}=\mathrm{3}} {\overset{{n}} {\sum}}\sqrt{{n}}={q}_{\mathrm{1}} −\sqrt{\mathrm{2}} \\ $$$$\underset{{k}=\mathrm{3}} {\overset{{n}} {\sum}}\sqrt{{n}}=\mathrm{2}+\sqrt{\mathrm{3}}+\underset{{k}=\mathrm{5}} {\overset{{n}} {\sum}}\sqrt{{n}} \\ $$$$\left(\mathrm{2}+\sqrt{\mathrm{3}}+\underset{{k}=\mathrm{5}} {\overset{{n}} {\sum}}\sqrt{{n}}\right)\in\mathbb{Q}\:\Rightarrow\:\underset{{k}=\mathrm{5}} {\overset{{n}} {\sum}}\sqrt{{n}}={q}_{\mathrm{2}} −\sqrt{\mathrm{3}} \\ $$$$\underset{{k}=\mathrm{5}} {\overset{{n}} {\sum}}\sqrt{{n}}=\mathrm{3}+\sqrt{\mathrm{5}}+\sqrt{\mathrm{6}}+\sqrt{\mathrm{7}}+\sqrt{\mathrm{8}}+\underset{{k}=\mathrm{10}} {\overset{{n}} {\sum}}\sqrt{{n}} \\ $$$$… \\ $$$$\Rightarrow\:\mathrm{for}\:{n}\in\mathbb{N}\:\mathrm{you}\:\mathrm{never}\:\mathrm{reach}\:\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\sqrt{{n}}\in\mathbb{Q} \\ $$$$\mathrm{because}\:\mathrm{at}\:\mathrm{least}\:\mathrm{the}\:\mathrm{greatest}\:\mathrm{prime}\:{p}\leqslant{n} \\ $$$$\mathrm{gives}\:\sqrt{{p}}\:\mathrm{which}\:\mathrm{again}\:\mathrm{is}\:\mathrm{incommensurable} \\ $$$$\mathrm{to}\:\mathrm{any}\:{q}\in\mathbb{Q},\:\mathrm{so}\:\mathrm{if}\:\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{m}} {\sum}}\sqrt{{n}}={q}_{{m}} \in\mathbb{Q}\:\mathrm{we}\:\mathrm{have} \\ $$$${q}_{{m}} +\sqrt{{m}+\mathrm{1}}+\sqrt{{m}+\mathrm{2}}+…\sqrt{{p}}+…\sqrt{{n}−\mathrm{1}}+\sqrt{{n}}\notin\mathbb{Q} \\ $$$$\mathrm{and}\:\underset{{n}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}\:\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\sqrt{{n}}\:=+\infty\:\notin\mathbb{Q} \\ $$

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