Question Number 210581 by alusto22 last updated on 13/Aug/24
$$\:\:\begin{cases}{{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3}{x}−\sqrt{{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3}{x}−\mathrm{1}\:=\:\mathrm{7}}}\\{\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2}}\:\mathrm{sin}\:{y}\:=\:{x}}\end{cases} \\ $$$$\:\:\:{x}=?\:\:\:\:{and}\:\:\:\:{y}=? \\ $$
Answered by Rasheed.Sindhi last updated on 14/Aug/24
$${x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3}{x}−\sqrt{{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3}{x}−\mathrm{1}}\:=\mathrm{7} \\ $$$$\sqrt{{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3}{x}−\mathrm{1}}\:={t}\geqslant\mathrm{0} \\ $$$${x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3}{x}={t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1} \\ $$$${t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}−{t}=\mathrm{7} \\ $$$${t}^{\mathrm{2}} −{t}−\mathrm{6}=\mathrm{0} \\ $$$$\left({t}−\mathrm{3}\right)\left({t}+\mathrm{2}\right)=\mathrm{0} \\ $$$${t}=\mathrm{3}\:\checkmark,\:−\mathrm{2}\:× \\ $$$$\sqrt{{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3}{x}−\mathrm{1}}\:=\mathrm{3} \\ $$$${x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3}{x}−\mathrm{1}=\mathrm{9} \\ $$$${x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3}{x}−\mathrm{10}=\mathrm{0} \\ $$$$\left({x}+\mathrm{5}\right)\left({x}−\mathrm{2}\right)=\mathrm{0} \\ $$$${x}=−\mathrm{5},\:\mathrm{2}\:\checkmark \\ $$$$\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2}}\:\mathrm{sin}\:{y}={x} \\ $$$$\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2}}\:\mathrm{sin}\:{y}=−\mathrm{5},\mathrm{2} \\ $$$$\mathrm{sin}\:{y}=−\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2}}\:}\:,\:\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2}}} \\ $$$$\mathrm{sin}\:{y}=−\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2}}\:}\:,\:\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{2}}} \\ $$$${y}=\mathrm{sin}^{−\mathrm{1}} \left(−\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2}}\:}\right)\in\mathbb{C}\:\checkmark \\ $$$${y}=\mathrm{sin}^{−\mathrm{1}} \left(\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{2}}}\right)=\frac{\pi}{\mathrm{4}}+\mathrm{2}\pi\:\checkmark \\ $$$$\left({x},{y}\right)=\left(−\mathrm{5},\mathrm{sin}^{−\mathrm{1}} \left(−\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2}}\:}\right)\right),\left(\mathrm{2},\frac{\pi}{\mathrm{4}}+\mathrm{2}\pi\right) \\ $$