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determiner-les-valeurs-de-pet-q-sachant-que-2-et-3-sont-les-2-et-3-sont-les-racines-de-l-equation-2pqz-2-5z-4-p-q-0-

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Question Number 211520 by a.lgnaoui last updated on 12/Sep/24
determiner les valeurs de pet q sachant que −2 et 3 sont les −2 et 3 sont les racines de l equation: 2pqz^2 −5z−4(p+q)=0
$$\mathrm{determiner}\:\mathrm{les}\:\mathrm{valeurs}\:\:\mathrm{de}\:\boldsymbol{\mathrm{p}}\mathrm{et}\:\boldsymbol{\mathrm{q}}\:\mathrm{sachant}\:\mathrm{que}\:−\mathrm{2}\:\mathrm{et}\:\mathrm{3}\:\mathrm{sont}\:\mathrm{les}\: \\ $$$$−\mathrm{2}\:\mathrm{et}\:\mathrm{3}\:\:\mathrm{sont}\:\mathrm{les}\:\mathrm{racines}\:\mathrm{de}\:\mathrm{l}\:\mathrm{equation}: \\ $$$$\mathrm{2}\boldsymbol{\mathrm{pqz}}^{\mathrm{2}} −\mathrm{5}\boldsymbol{\mathrm{z}}−\mathrm{4}\left(\boldsymbol{\mathrm{p}}+\boldsymbol{\mathrm{q}}\right)=\mathrm{0} \\ $$$$ \\ $$
Commented by MrGaster last updated on 12/Sep/24
2pqz^2 −5z−4(p+q)=0 −2+3=1=((−5)/(2pq)) 2pq=5 pq(5/2) −2×3=−6=((−4(p+q))/(2pq)) −6=−((8(p+q))/5) 6=((8(p+q))/5) p+q=((30)/8)=((15)/4) p(((15)/4)−p)=(5/2) −p^2 +((15)/4)p−−(5/2)=0 −4p^2 +15p−10=0 4p^2 −15p+10=0 p=((15±(√(225−160)))/8) p=((15±(√(85)))/8)
$$\mathrm{2}\boldsymbol{{pqz}}^{\mathrm{2}} −\mathrm{5}\boldsymbol{{z}}−\mathrm{4}\left(\boldsymbol{{p}}+\boldsymbol{{q}}\right)=\mathrm{0} \\ $$$$−\mathrm{2}+\mathrm{3}=\mathrm{1}=\frac{−\mathrm{5}}{\mathrm{2}\boldsymbol{{pq}}} \\ $$$$\mathrm{2}\boldsymbol{{pq}}=\mathrm{5} \\ $$$$\boldsymbol{{pq}}\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{2}} \\ $$$$−\mathrm{2}×\mathrm{3}=−\mathrm{6}=\frac{−\mathrm{4}\left(\boldsymbol{{p}}+\boldsymbol{{q}}\right)}{\mathrm{2}\boldsymbol{{pq}}} \\ $$$$−\mathrm{6}=−\frac{\mathrm{8}\left(\boldsymbol{{p}}+\boldsymbol{{q}}\right)}{\mathrm{5}} \\ $$$$\mathrm{6}=\frac{\mathrm{8}\left(\boldsymbol{{p}}+\boldsymbol{{q}}\right)}{\mathrm{5}} \\ $$$$\boldsymbol{{p}}+\boldsymbol{{q}}=\frac{\mathrm{30}}{\mathrm{8}}=\frac{\mathrm{15}}{\mathrm{4}} \\ $$$$\mathrm{p}\left(\frac{\mathrm{15}}{\mathrm{4}}−\boldsymbol{{p}}\right)=\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{2}} \\ $$$$−\boldsymbol{{p}}^{\mathrm{2}} +\frac{\mathrm{15}}{\mathrm{4}}\boldsymbol{{p}}−−\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{2}}=\mathrm{0} \\ $$$$−\mathrm{4}\boldsymbol{{p}}^{\mathrm{2}} +\mathrm{15}\boldsymbol{{p}}−\mathrm{10}=\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{4}\boldsymbol{{p}}^{\mathrm{2}} −\mathrm{15}\boldsymbol{{p}}+\mathrm{10}=\mathrm{0} \\ $$$$\boldsymbol{{p}}=\frac{\mathrm{15}\pm\sqrt{\mathrm{225}−\mathrm{160}}}{\mathrm{8}} \\ $$$$\boldsymbol{{p}}=\frac{\mathrm{15}\pm\sqrt{\mathrm{85}}}{\mathrm{8}} \\ $$
Answered by a.lgnaoui last updated on 12/Sep/24
z^2 −(5/(2pq))z−((4(p+q))/(2pq))=0 △=25+32pq(p+q) { ((3=((5+(√(25+32pq(p+q))))/(4pq)) (1))),((−2=((5−(√(25+32pq(p+q))))/(4pq)) (2))) :} (1)+(2)⇒ 1=((10)/(4pq)) pq=(5/2) (3) (2) (8pq+5)^2 =25+32pq(p+q) 64(pq)^2 +80pq=32(p+q)pq 64pq+80=32(p+q) p+q=((64pq+80)/(32))=2pq+(5/2) soit p+q=5+(5/2)=((15)/2) { ((p+q =((15)/2))),((pq =(5/2))) :} p=((15+(√(185)))/4) ≅7,15 q=((15−(√(185)))/4) ≅ 0,35
$$\:\:\:\:\:\boldsymbol{\mathrm{z}}^{\mathrm{2}} −\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{2pq}}\boldsymbol{\mathrm{z}}−\frac{\mathrm{4}\left(\mathrm{p}+\mathrm{q}\right)}{\mathrm{2pq}}=\mathrm{0} \\ $$$$\:\:\:\:\bigtriangleup=\mathrm{25}+\mathrm{32pq}\left(\mathrm{p}+\mathrm{q}\right) \\ $$$$\:\begin{cases}{\mathrm{3}=\frac{\mathrm{5}+\sqrt{\mathrm{25}+\mathrm{32}\boldsymbol{\mathrm{pq}}\left(\boldsymbol{\mathrm{p}}+\boldsymbol{\mathrm{q}}\right)}}{\mathrm{4}\boldsymbol{\mathrm{pq}}}\:\:\:\:\:\:\:\left(\mathrm{1}\right)}\\{−\mathrm{2}=\frac{\mathrm{5}−\sqrt{\mathrm{25}+\mathrm{32}\boldsymbol{\mathrm{pq}}\left(\boldsymbol{\mathrm{p}}+\boldsymbol{\mathrm{q}}\right)}}{\mathrm{4}\boldsymbol{\mathrm{pq}}}\:\:\:\left(\mathrm{2}\right)}\end{cases} \\ $$$$\left(\mathrm{1}\right)+\left(\mathrm{2}\right)\Rightarrow \\ $$$$\:\mathrm{1}=\frac{\mathrm{10}}{\mathrm{4p}\boldsymbol{\mathrm{q}}}\:\:\:\:\:\boldsymbol{\mathrm{pq}}=\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{2}}\:\:\:\:\left(\mathrm{3}\right) \\ $$$$\left(\mathrm{2}\right)\:\:\left(\mathrm{8}\boldsymbol{\mathrm{pq}}+\mathrm{5}\right)^{\mathrm{2}} =\mathrm{25}+\mathrm{32}\boldsymbol{\mathrm{pq}}\left(\boldsymbol{\mathrm{p}}+\boldsymbol{\mathrm{q}}\right) \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{64}\left(\boldsymbol{\mathrm{pq}}\right)^{\mathrm{2}} +\mathrm{80}\boldsymbol{\mathrm{pq}}=\mathrm{32}\left(\boldsymbol{\mathrm{p}}+\boldsymbol{\mathrm{q}}\right)\boldsymbol{\mathrm{pq}} \\ $$$$\mathrm{64}\boldsymbol{\mathrm{pq}}+\mathrm{80}=\mathrm{32}\left(\boldsymbol{\mathrm{p}}+\boldsymbol{\mathrm{q}}\right) \\ $$$$\:\:\:\boldsymbol{\mathrm{p}}+\boldsymbol{\mathrm{q}}=\frac{\mathrm{64}\boldsymbol{\mathrm{pq}}+\mathrm{80}}{\mathrm{32}}=\mathrm{2}\boldsymbol{\mathrm{pq}}+\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{2}} \\ $$$$\boldsymbol{\mathrm{soit}}\:\:\:\boldsymbol{\mathrm{p}}+\boldsymbol{\mathrm{q}}=\mathrm{5}+\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{2}}=\frac{\mathrm{15}}{\mathrm{2}} \\ $$$$\begin{cases}{\boldsymbol{\mathrm{p}}+\boldsymbol{\mathrm{q}}\:\:\:\:\:\:=\frac{\mathrm{15}}{\mathrm{2}}}\\{\boldsymbol{\mathrm{pq}}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{2}}}\end{cases} \\ $$$$ \\ $$$$ \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\boldsymbol{\mathrm{p}}=\frac{\mathrm{15}+\sqrt{\mathrm{185}}}{\mathrm{4}}\:\:\:\:\:\:\:\:\cong\mathrm{7},\mathrm{15} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\boldsymbol{\mathrm{q}}=\frac{\mathrm{15}−\sqrt{\mathrm{185}}}{\mathrm{4}}\:\:\:\:\:\:\:\:\cong\:\:\mathrm{0},\mathrm{35} \\ $$$$ \\ $$
Answered by Frix last updated on 12/Sep/24
p=u−(√v)∧q=u+(√v) 2(u^2 −v)z^2 −5z−8u=0 v=u^2 −((4u)/z^2 )−(5/(2z)) z=−2 v=u^2 −u+(5/4) z=3 v=u^2 −((4u)/9)−(5/6) u^2 −u+(5/4)=u^2 −((4u)/9)−(5/6) u=((15)/4) ⇒ v=((185)/(16)) ⇒ (√v)=±((√(185))/4) p=((15±(√(185)))/4)∧q=((15∓(√(185)))/4)
$${p}={u}−\sqrt{{v}}\wedge{q}={u}+\sqrt{{v}} \\ $$$$\mathrm{2}\left({u}^{\mathrm{2}} −{v}\right){z}^{\mathrm{2}} −\mathrm{5}{z}−\mathrm{8}{u}=\mathrm{0} \\ $$$${v}={u}^{\mathrm{2}} −\frac{\mathrm{4}{u}}{{z}^{\mathrm{2}} }−\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{2}{z}} \\ $$$${z}=−\mathrm{2} \\ $$$${v}={u}^{\mathrm{2}} −{u}+\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{4}} \\ $$$${z}=\mathrm{3} \\ $$$${v}={u}^{\mathrm{2}} −\frac{\mathrm{4}{u}}{\mathrm{9}}−\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{6}} \\ $$$${u}^{\mathrm{2}} −{u}+\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{4}}={u}^{\mathrm{2}} −\frac{\mathrm{4}{u}}{\mathrm{9}}−\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{6}} \\ $$$${u}=\frac{\mathrm{15}}{\mathrm{4}}\:\Rightarrow\:{v}=\frac{\mathrm{185}}{\mathrm{16}}\:\Rightarrow\:\sqrt{{v}}=\pm\frac{\sqrt{\mathrm{185}}}{\mathrm{4}} \\ $$$${p}=\frac{\mathrm{15}\pm\sqrt{\mathrm{185}}}{\mathrm{4}}\wedge{q}=\frac{\mathrm{15}\mp\sqrt{\mathrm{185}}}{\mathrm{4}} \\ $$

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