Question Number 211529 by MrGaster last updated on 12/Sep/24
$$\mathrm{known}:\boldsymbol{{x}}+\boldsymbol{\mathrm{y}}=\mathrm{3},\mathrm{ask}: \\ $$$$\boldsymbol{\mathrm{min}}\left(\sqrt{\boldsymbol{{x}}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}+\sqrt{\boldsymbol{\mathrm{y}}\mathrm{2}−\mathrm{4}}\right)=? \\ $$
Answered by MrGaster last updated on 12/Sep/24
$$\mathrm{1}.\boldsymbol{{f}}\left(\boldsymbol{{x}}\right)=\sqrt{\boldsymbol{{x}}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}+\sqrt{\left(\mathrm{3}+\boldsymbol{{x}}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{4}} \\ $$$$\boldsymbol{{f}}^{ } \left(\boldsymbol{{x}}\right)=\frac{\boldsymbol{{x}}}{\:\sqrt{\boldsymbol{{x}}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}}−\frac{\mathrm{3}−\boldsymbol{{x}}}{\:\sqrt{\left(\mathrm{3}−\boldsymbol{{x}}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{4}}} \\ $$$$\boldsymbol{{f}}^{ } \left(\boldsymbol{{x}}\right)=\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{Check}\:\mathrm{endpoint}: \\ $$$$\boldsymbol{{x}}=\mathrm{0},\boldsymbol{\mathrm{y}}=\mathrm{3} \\ $$$$\boldsymbol{{f}}\left(\mathrm{0}\right)=\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{5}} \\ $$$$\boldsymbol{{x}}=\mathrm{1},\boldsymbol{\mathrm{y}}=\mathrm{2} \\ $$$$\boldsymbol{{f}}\left(\mathrm{1}\right)=\sqrt{\mathrm{2}} \\ $$$$\boldsymbol{\mathrm{min}{f}}\left(\boldsymbol{{x}}\right)=\sqrt{\mathrm{2}} \\ $$