Question Number 211677 by MrGaster last updated on 16/Sep/24
$$\mathrm{Consider}\:\mathrm{a}\:\mathrm{system}\:\mathrm{consisting}\:\mathrm{ofw} \\ $$$$\mathrm{to}\:\mathrm{masses}.\boldsymbol{{m}}_{\mathrm{1}} \boldsymbol{\mathrm{and}}\:\boldsymbol{{m}}_{\mathrm{2}} ,\mathrm{where}\:\mathrm{the}\:\mathrm{pendulum}\:\mathrm{rod}\:\mathrm{has}\:\mathrm{an} \\ $$$$\mathrm{nolinear}\:\mathrm{elastic}\:\mathrm{coefficient}\:\boldsymbol{{k}}\left(\boldsymbol{\theta}\right)=\boldsymbol{{k}}_{\mathrm{0}} \left(\mathrm{1}+\boldsymbol{\alpha\theta}^{\mathrm{2}} \right),\mathrm{with}\boldsymbol{\theta}\:\mathrm{being}\:\mathrm{the}\:\mathrm{angle}\:\mathrm{between}\:\mathrm{the}\: \\ $$$$\mathrm{rodand}\:\mathrm{the}\:\mathrm{vertical}\:\mathrm{direction}. \\ $$$$\mathrm{Suppose}\:\mathrm{the}\:\mathrm{angle}\:\mathrm{is}\:\mathrm{smallh} \\ $$$$\mathrm{enoug}\:\mathrm{that}\:\boldsymbol{\theta}\:\mathrm{The}\:\mathrm{square}\:\mathrm{of}\:\mathrm{can}\:\mathrm{be}\:\mathrm{ignored}\: \\ $$$$\mathrm{andthe}\:\mathrm{motion}\:\mathrm{equation}\:\mathrm{of}\:\mathrm{thes} \\ $$$$\mathrm{sytem}\:\mathrm{can}\:\mathrm{be}\:\mathrm{approximated}\:\mathrm{as}\:\mathrm{as} \\ $$$$\mathrm{imple}\:\mathrm{swing}\:\mathrm{with}\:\mathrm{lineary} \\ $$$$\mathrm{elasticit}.\:\mathrm{However}\:\mathrm{for}\:\mathrm{largere} \\ $$$$\mathrm{angls}\:\mathrm{nonlinear}\:\mathrm{factors}\:\mathrm{becomei} \\ $$$$\mathrm{sgnificant}\:\mathrm{and}\:\mathrm{must}\:\mathrm{bed} \\ $$$$\mathrm{considere}\:\mathrm{in}\:\mathrm{the}\:\mathrm{equation}\:\mathrm{ofo} \\ $$$$\mathrm{motin}.\:\mathrm{The}\:\mathrm{motion}\:\mathrm{equation}\:\mathrm{ofh} \\ $$$$\mathrm{tis}\:\mathrm{system}\:\mathrm{under}\:\mathrm{the}\:\mathrm{action}\:\mathrm{ofv} \\ $$$$\mathrm{graity}\:\mathrm{and}\:\mathrm{including}\:\mathrm{nonlineara} \\ $$$$\mathrm{elstic}\:\mathrm{coefficient}\:\mathrm{is}\:\mathrm{derived}. \\ $$