Question Number 211761 by MATHEMATICSAM last updated on 20/Sep/24
$$\mathrm{If}\:{x}\:=\:\frac{\mathrm{4}{a}^{\mathrm{2}} {b}}{\mathrm{4}{b}^{\mathrm{2}} \:+\:\mathrm{1}}\:\mathrm{where}\:{b}\:>\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\:\mathrm{then} \\ $$$$\frac{\sqrt{{a}^{\mathrm{2}} \:+\:{x}}\:+\:\sqrt{{a}^{\mathrm{2}} \:−\:{x}}}{\:\sqrt{{a}^{\mathrm{2}} \:+\:{x}}\:−\:\sqrt{{a}^{\mathrm{2}} \:−\:{x}}}\:=\:? \\ $$
Answered by som(math1967) last updated on 20/Sep/24
$$\:\frac{\sqrt{{a}^{\mathrm{2}} +{x}}+\sqrt{{a}^{\mathrm{2}} −{x}}}{\:\sqrt{{a}^{{z}} +{x}}−\sqrt{{a}^{\mathrm{2}} −{x}}} \\ $$$$=\frac{\left(\sqrt{{a}^{\mathrm{2}} +{x}}+\sqrt{{a}^{\mathrm{2}} −{x}}\right)^{\mathrm{2}} }{\left(\sqrt{{a}^{\mathrm{2}} +{x}}\right)^{\mathrm{2}} −\left(\sqrt{{a}^{\mathrm{2}} −{x}}\right)^{\mathrm{2}} } \\ $$$$=\frac{{a}^{\mathrm{2}} +{x}+{a}^{\mathrm{2}} −{x}+\mathrm{2}\sqrt{{a}^{\mathrm{4}} −{x}^{\mathrm{2}} }}{{a}^{\mathrm{2}} +{x}−{a}^{\mathrm{2}} +{x}} \\ $$$$=\frac{\mathrm{2}\left({a}^{\mathrm{2}} +\sqrt{{a}^{\mathrm{4}} −{x}^{\mathrm{2}} }\right.}{\mathrm{2}{x}} \\ $$$$=\frac{{a}^{\mathrm{2}} +\sqrt{{a}^{\mathrm{4}} −\frac{\mathrm{16}{a}^{\mathrm{4}} {b}^{\mathrm{2}} }{\left(\mathrm{4}{b}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }}}{\frac{\mathrm{4}{a}^{\mathrm{2}} {b}}{\mathrm{4}{b}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}} \\ $$$$=\frac{{a}^{\mathrm{2}} +{a}^{\mathrm{2}} \sqrt{\frac{\left(\mathrm{4}{b}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{4}.\mathrm{4}{b}^{\mathrm{2}} .\mathrm{1}}{\left(\mathrm{4}{b}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }}}{\frac{\mathrm{4}{a}^{\mathrm{2}} {b}}{\left(\mathrm{4}{b}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)}} \\ $$$$=\frac{{a}^{\mathrm{2}} ×\frac{\mathrm{4}{b}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}{\mathrm{4}{b}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}×\frac{\mathrm{4}{b}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}{\mathrm{4}{a}^{\mathrm{2}} {b}}}{\mathrm{1}} \\ $$$$=\frac{\mathrm{4}{b}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}{\mathrm{4}{b}}={b}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}{b}} \\ $$