Question Number 211861 by hardmath last updated on 22/Sep/24
$$\overline {\mathrm{ab}}\:\:+\:\:\overline {\mathrm{ba}}\:\:=\:\:\mathrm{4c} \\ $$$$\mathrm{a}\:+\:\mathrm{b}\:+\:\mathrm{3c}\:=\:? \\ $$
Answered by A5T last updated on 22/Sep/24
$$\mathrm{10}{a}+{b}+\mathrm{10}{b}+{a}=\mathrm{11}\left({a}+{b}\right)=\mathrm{4}{c} \\ $$$${a}+{b}=\mathrm{4}{k}\leqslant\mathrm{9}+\mathrm{9}=\mathrm{18}\Rightarrow{k}\leqslant\mathrm{4} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{44}{k}=\mathrm{4}{c}\Rightarrow{c}=\mathrm{11}{k}\leqslant\mathrm{44}\Rightarrow{c}\in\left(\mathrm{11},\mathrm{22},\mathrm{33},\mathrm{44}\right) \\ $$$${when}\:{c}=\mathrm{11};\:{a}+{b}=\mathrm{4}\Rightarrow{a}+{b}+\mathrm{3}{c}=\mathrm{37} \\ $$$${when}\:{c}=\mathrm{22};\:{a}+{b}=\mathrm{8}\Rightarrow{a}+{b}+\mathrm{3}{c}=\mathrm{74} \\ $$$${when}\:{c}=\mathrm{33};\:{a}+{b}=\mathrm{12}\Rightarrow{a}+{b}+\mathrm{3}{c}=\mathrm{111} \\ $$$${when}\:{c}=\mathrm{44};\:{a}+{b}=\mathrm{16}\Rightarrow{a}+{b}+\mathrm{3}{c}=\mathrm{148} \\ $$