Question Number 212545 by MrGaster last updated on 17/Oct/24
$$\underset{{n}\rightarrow\infty} {\mathrm{llim}}\underset{{i}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\left(\sqrt{\mathrm{1}+\frac{{i}}{{n}^{\mathrm{3}} }}−\mathrm{1}\right)=? \\ $$
Answered by lepuissantcedricjunior last updated on 17/Oct/24
$$\underset{\boldsymbol{{n}}\rightarrow+\infty} {\mathrm{lim}}\underset{\boldsymbol{{i}}=\mathrm{1}} {\overset{\boldsymbol{{n}}} {\sum}}\left(\sqrt{\mathrm{1}+\frac{\boldsymbol{{i}}}{\boldsymbol{{n}}^{\mathrm{3}} }}−\mathrm{1}\right)\approx\underset{\boldsymbol{{n}}\rightarrow+\infty} {\mathrm{lim}}\underset{\boldsymbol{{i}}=\mathrm{1}} {\overset{\boldsymbol{{n}}} {\sum}}\left(\mathrm{1}+\frac{\boldsymbol{{i}}}{\mathrm{2}\boldsymbol{{n}}^{\mathrm{3}} }−\mathrm{1}\right) \\ $$$$\boldsymbol{{car}}\:\left(\mathrm{1}+\boldsymbol{{x}}\right)^{\boldsymbol{{n}}} =\mathrm{1}+\boldsymbol{{nx}}\:\:\boldsymbol{{si}}\:\boldsymbol{{x}}<<<<\mathrm{1} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\approx\underset{\boldsymbol{{n}}\rightarrow+\infty} {\mathrm{lim}}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\boldsymbol{{n}}^{\mathrm{3}} }\underset{\boldsymbol{{i}}=\mathrm{1}} {\overset{\boldsymbol{{n}}} {\sum}}\boldsymbol{{i}} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\approx\underset{\boldsymbol{{n}}\rightarrow+\infty} {\mathrm{lim}}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\boldsymbol{{n}}^{\mathrm{3}} }×\frac{\boldsymbol{{n}}\left(\boldsymbol{{n}}+\mathrm{1}\right)}{\mathrm{2}}\right) \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\approx\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow\underset{\boldsymbol{{n}}\rightarrow+\infty} {\mathrm{lim}}\underset{\boldsymbol{{i}}=\mathrm{1}} {\overset{\boldsymbol{{n}}} {\sum}}\left(\sqrt{\mathrm{1}+\frac{\boldsymbol{{i}}}{\boldsymbol{{n}}^{\mathrm{3}} }}−\mathrm{1}\right)=\mathrm{0} \\ $$