x-1-x-1-1-x-x-

Question Number 212647 by golsendro last updated on 20/Oct/24

$$\:\:\:\sqrt{\mathrm{x}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}}\:+\sqrt{\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}}\:=\:\mathrm{x}\: \\ $$

Commented by Rasheed.Sindhi last updated on 21/Oct/24

$${See}\:{also}\:{Q}#\mathrm{200498} \\ $$

Answered by Frix last updated on 20/Oct/24

x=ϕ=((1+(√5))/2) (1/ϕ)=ϕ−1 ⇔ ϕ=(1/ϕ)+1 ⇔ ϕ−(1/ϕ)=1 1−(1/ϕ)=((ϕ−1)/ϕ)=(1/ϕ)(ϕ−1)=(1/ϕ^2 ) (√(ϕ−(1/ϕ)))+(√(1−(1/ϕ)))=1+(1/ϕ)=ϕ

$${x}=\varphi=\frac{\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{5}}}{\mathrm{2}} \\ $$$$\frac{\mathrm{1}}{\varphi}=\varphi−\mathrm{1}\:\Leftrightarrow\:\varphi=\frac{\mathrm{1}}{\varphi}+\mathrm{1}\:\Leftrightarrow\:\varphi−\frac{\mathrm{1}}{\varphi}=\mathrm{1} \\ $$$$\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{\varphi}=\frac{\varphi−\mathrm{1}}{\varphi}=\frac{\mathrm{1}}{\varphi}\left(\varphi−\mathrm{1}\right)=\frac{\mathrm{1}}{\varphi^{\mathrm{2}} } \\ $$$$\sqrt{\varphi−\frac{\mathrm{1}}{\varphi}}+\sqrt{\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{\varphi}}=\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{\varphi}=\varphi \\ $$

Answered by MATHEMATICSAM last updated on 22/Oct/24

(√(x−(1/x))) +(√(1−(1/x))) = x .... (i) ⇒ ((√(x − (1/x))) + (√(1 − (1/x)))) × ((√(x − (1/x))) − (√(1 − (1/x)))) = x((√(x − (1/x))) − (√(1 − (1/x)))) ⇒ x − (1/x) − 1 + (1/x) = x((√(x − (1/x))) − (√(1 − (1/x)))) ⇒ (√(x − (1/x))) − (√(1 − (1/x))) = 1 − (1/x) ... (ii) (i)+(ii) 2(√(x − (1/x))) = x − (1/x) + 1 Put (√(x − (1/x))) = t ⇒ 2t = t^2 + 1 ⇒ (t − 1)^2 = 0 ⇒ t = 1 ⇒ (√(x − (1/x))) = 1 ⇒ x − (1/x) = 1 ⇒ x^2 − x − 1 = 0 x = ((1 ± (√5))/2) but x can′t be negative for real numbers of the equation so x = ((1 + (√5))/2)

$$\:\:\:\sqrt{\mathrm{x}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}}\:+\sqrt{\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}}\:=\:\mathrm{x}\:….\:\left(\mathrm{i}\right) \\ $$$$\Rightarrow\:\left(\sqrt{\mathrm{x}\:−\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}}\:+\:\sqrt{\mathrm{1}\:−\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}}\right)\:× \\ $$$$\left(\sqrt{\mathrm{x}\:−\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}}\:−\:\sqrt{\mathrm{1}\:−\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}}\right)\:=\: \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{x}\left(\sqrt{\mathrm{x}\:−\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}}\:−\:\sqrt{\mathrm{1}\:−\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}}\right) \\ $$$$\Rightarrow\:\mathrm{x}\:−\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}\:−\:\mathrm{1}\:+\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}\:=\: \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{x}\left(\sqrt{\mathrm{x}\:−\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}}\:−\:\sqrt{\mathrm{1}\:−\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}}\right) \\ $$$$\Rightarrow\:\sqrt{\mathrm{x}\:−\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}}\:−\:\sqrt{\mathrm{1}\:−\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}}\:=\:\mathrm{1}\:−\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}\:…\:\left(\mathrm{ii}\right) \\ $$$$\left(\mathrm{i}\right)+\left(\mathrm{ii}\right) \\ $$$$\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{x}\:−\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}}\:=\:\mathrm{x}\:−\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}\:+\:\mathrm{1} \\ $$$$\mathrm{Put}\:\sqrt{\mathrm{x}\:−\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}}\:=\:\mathrm{t} \\ $$$$\Rightarrow\:\mathrm{2t}\:=\:\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \:+\:\mathrm{1} \\ $$$$\Rightarrow\:\left(\mathrm{t}\:−\:\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} \:=\:\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow\:\mathrm{t}\:=\:\mathrm{1} \\ $$$$\Rightarrow\:\sqrt{\mathrm{x}\:−\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}}\:=\:\mathrm{1} \\ $$$$\Rightarrow\:\mathrm{x}\:−\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}\:=\:\mathrm{1} \\ $$$$\Rightarrow\:\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:−\:\mathrm{x}\:−\:\mathrm{1}\:=\:\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{x}\:=\:\frac{\mathrm{1}\:\pm\:\sqrt{\mathrm{5}}}{\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{but}\:\mathrm{x}\:\mathrm{can}'\mathrm{t}\:\mathrm{be}\:\mathrm{negative}\:\mathrm{for}\:\mathrm{real}\:\mathrm{numbers} \\ $$$$\mathrm{of}\:\mathrm{the}\:\mathrm{equation} \\ $$$$\mathrm{so}\:\mathrm{x}\:=\:\frac{\mathrm{1}\:+\:\sqrt{\mathrm{5}}}{\mathrm{2}} \\ $$

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