Question Number 213074 by Spillover last updated on 29/Oct/24
Answered by MrGaster last updated on 29/Oct/24
$$=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \int_{\mathrm{0}} ^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}} \left[−\frac{\mathrm{cos}\left({x}+{y}^{\mathrm{2}} +{z}^{\mathrm{3}} \right)}{\mathrm{3}{z}^{\mathrm{2}} }\right]_{\mathrm{0}} ^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}} {dydx} \\ $$$$=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \int_{\mathrm{0}} ^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}} \left(−\frac{\mathrm{cos}\left({x}+{y}^{\mathrm{2}} +\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{27}}\right)}{\mathrm{3}\centerdot\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{9}}}+\frac{\mathrm{cos}\left({x}+{y}^{\mathrm{2}} \right)}{\mathrm{3}\centerdot\mathrm{0}^{\mathrm{2}} }\right){dydx} \\ $$$$=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \int_{\mathrm{0}} ^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}} \left(\mathrm{3}\:\mathrm{cos}\left({x}+{y}^{\mathrm{2}} \right)−\mathrm{3}\:\mathrm{cos}\left({x}+{y}^{\mathrm{2}} +\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{27}}\right)\right){dydx} \\ $$$$=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \left[\mathrm{3}\:\mathrm{sin}\left({x}+{y}^{\mathrm{2}} \right)−\mathrm{3}\:\mathrm{sin}\left({x}+{y}^{\mathrm{2}} +\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{27}}\right)\overset{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}} {\right]}_{\mathrm{0}} {dx} \\ $$$$=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \left(\mathrm{3}\:\mathrm{sin}\left({x}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\right)−\mathrm{3}\:\mathrm{sin}\left({x}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{27}}\right)−\mathrm{3}\:\mathrm{sin}\left({x}\right)+\mathrm{3}\:\mathrm{sin}\left({x}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{27}}\right)\right){dx} \\ $$$$=\left[−\mathrm{3}\:\mathrm{cos}\left({x}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\right)+\mathrm{3}\:\mathrm{cos}\left({x}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{27}}\right)+\:\mathrm{3}\:\mathrm{cos}\left({x}\right)−\mathrm{3}\:\mathrm{cos}\left({x}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{27}}\right)\right]_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \\ $$$$=−\:\mathrm{3}\:\mathrm{cos}\left(\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\right)+\mathrm{3}\:\mathrm{cos}\left(\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{27}}\right)+\mathrm{3}\:\mathrm{cos}\left(\mathrm{1}\right)−\mathrm{3}\:\mathrm{cos}\left(\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{27}}\right)+\mathrm{3cos}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\right)−\:\mathrm{3}\:\mathrm{cos}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{27}}\right)−\mathrm{3}\:\mathrm{cos}\left(\mathrm{0}\right)+\mathrm{3}\:\mathrm{cos}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{27}}\right) \\ $$