Question Number 213082 by liuxinnan last updated on 30/Oct/24
Answered by MrGaster last updated on 30/Oct/24
![Σ_(i=1) ^n i^(1/n) ≈∫_1 ^n x^(1/n) dx ∫x^(1/x) dx=(n/(1+(1/n)))x^((1/n)+1) +C=nx^((1/n)+1) +C ∫_1 ^n x^(1/n) dx=n[n^((1/n)+1) −1^((1/n)+1) ]=n[n^((1/n)+1) −1] Σ_(i=1) ^n i^(−(1/n)) ≈∫_1 ^n x^(−(1/n)) dx ∫x^(−(1/x)) dx=(n/(−(1/n)+1))x^(−(1/n)+1) +C=(n/((n−1)/n))x^((n−1)/n) +C=(n^2 /(n−1))x^((n−1)/n) +C ∫_1 ^n x^(−(1/n)) dx=(n^2 /(n−1))[n^((n−1)/n) −1^((n−1)/n) ]=(n^2 /(n−1))[n^((n−1)/n) −1]((n[n^((1/n)+1) −1](n^2 /(n−1))[n^((n−1)/n) −1])/((n−1)(n+1)))n∙(n^2 /(n−1))∙(([n^((1/n)+1) −1][n^((n−1)/n) −1])/((n−1)(n+1))) (n^3 /((n−1)^2 (n+1)))∙[n^((1/n)+1+((n−1)/n)) −n^((1/n)+1) −n^((n−1)/n) +1]lim_(n→+∞) (n^3 /((n−1)^2 (n+1)))∙[1−(n^((1/n)+1) /n^2 )−(n^((n−1)/n) /n^2 )+(1/n^2 )]lim_(n→+∞) (n^3 /(n^3 −n^2 −n+1))∙[1−(1/n^(1−(1/n)) )−(1/n^(1+(1/n)) )+(1/n^2 )]lim_(n→+∞) [1−(1/e)−(1/e)+0]=1−(2/e) 1−(2/e)](https://www.tinkutara.com/question/Q213094.png)
$$\underset{{i}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}{i}^{\frac{\mathrm{1}}{{n}}} \approx\int_{\mathrm{1}} ^{{n}} {x}^{\frac{\mathrm{1}}{{n}}} {dx} \\ $$$$\int{x}^{\frac{\mathrm{1}}{{x}}} {dx}=\frac{{n}}{\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{{n}}}{x}^{\frac{\mathrm{1}}{{n}}+\mathrm{1}} +{C}={nx}^{\frac{\mathrm{1}}{{n}}+\mathrm{1}} +{C} \\ $$$$\int_{\mathrm{1}} ^{{n}} {x}^{\frac{\mathrm{1}}{{n}}} {dx}={n}\left[{n}^{\frac{\mathrm{1}}{{n}}+\mathrm{1}} −\mathrm{1}^{\frac{\mathrm{1}}{{n}}+\mathrm{1}} \right]={n}\left[{n}^{\frac{\mathrm{1}}{{n}}+\mathrm{1}} −\mathrm{1}\right] \\ $$$$\underset{{i}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}{i}^{−\frac{\mathrm{1}}{{n}}} \approx\int_{\mathrm{1}} ^{{n}} {x}^{−\frac{\mathrm{1}}{{n}}} {dx} \\ $$$$\int{x}^{−\frac{\mathrm{1}}{{x}}} {dx}=\frac{{n}}{−\frac{\mathrm{1}}{{n}}+\mathrm{1}}{x}^{−\frac{\mathrm{1}}{{n}}+\mathrm{1}} +{C}=\frac{{n}}{\frac{{n}−\mathrm{1}}{{n}}}{x}^{\frac{{n}−\mathrm{1}}{{n}}} +{C}=\frac{{n}^{\mathrm{2}} }{{n}−\mathrm{1}}{x}^{\frac{{n}−\mathrm{1}}{{n}}} +{C} \\ $$$$\int_{\mathrm{1}} ^{{n}} {x}^{−\frac{\mathrm{1}}{{n}}} {dx}=\frac{{n}^{\mathrm{2}} }{{n}−\mathrm{1}}\left[{n}^{\frac{{n}−\mathrm{1}}{{n}}} −\mathrm{1}^{\frac{{n}−\mathrm{1}}{{n}}} \right]=\frac{{n}^{\mathrm{2}} }{{n}−\mathrm{1}}\left[{n}^{\frac{{n}−\mathrm{1}}{{n}}} −\mathrm{1}\right]\frac{{n}\left[{n}^{\frac{\mathrm{1}}{{n}}+\mathrm{1}} −\mathrm{1}\right]\frac{{n}^{\mathrm{2}} }{{n}−\mathrm{1}}\left[{n}^{\frac{{n}−\mathrm{1}}{{n}}} −\mathrm{1}\right]}{\left({n}−\mathrm{1}\right)\left({n}+\mathrm{1}\right)}{n}\centerdot\frac{{n}^{\mathrm{2}} }{{n}−\mathrm{1}}\centerdot\frac{\left[{n}^{\frac{\mathrm{1}}{{n}}+\mathrm{1}} −\mathrm{1}\right]\left[{n}^{\frac{{n}−\mathrm{1}}{\mathrm{n}}} −\mathrm{1}\right]}{\left({n}−\mathrm{1}\right)\left({n}+\mathrm{1}\right)}\:\frac{{n}^{\mathrm{3}} }{\left({n}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} \left({n}+\mathrm{1}\right)}\centerdot\left[{n}^{\frac{\mathrm{1}}{{n}}+\mathrm{1}+\frac{{n}−\mathrm{1}}{{n}}} −{n}^{\frac{\mathrm{1}}{{n}}+\mathrm{1}} −{n}^{\frac{{n}−\mathrm{1}}{{n}}} +\mathrm{1}\right]\underset{{n}\rightarrow+\infty} {\mathrm{lim}}\frac{{n}^{\mathrm{3}} }{\left({n}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} \left({n}+\mathrm{1}\right)}\centerdot\left[\mathrm{1}−\frac{{n}^{\frac{\mathrm{1}}{{n}}+\mathrm{1}} }{{n}^{\mathrm{2}} }−\frac{{n}^{\frac{{n}−\mathrm{1}}{{n}}} }{{n}^{\mathrm{2}} }+\frac{\mathrm{1}}{{n}^{\mathrm{2}} }\right]\underset{{n}\rightarrow+\infty} {\mathrm{lim}}\frac{{n}^{\mathrm{3}} }{{n}^{\mathrm{3}} −{n}^{\mathrm{2}} −{n}+\mathrm{1}}\centerdot\left[\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{{n}^{\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{{n}}} }−\frac{\mathrm{1}}{{n}^{\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{{n}}} }+\frac{\mathrm{1}}{{n}^{\mathrm{2}} }\right]\underset{{n}\rightarrow+\infty} {\mathrm{lim}}\left[\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{{e}}−\frac{\mathrm{1}}{{e}}+\mathrm{0}\right]=\mathrm{1}−\frac{\mathrm{2}}{{e}} \\ $$$$\mathrm{1}−\frac{\mathrm{2}}{{e}} \\ $$