Menu Close

a-h-is-Cauchy-Sequence-Sequence-a-h-h-1-n-Satisfy-h-1-n-a-h-0-h-1-n-a-h-2-1-find-minimum-value-of-Summation-a-1-a-n-h-1-n-1-a-h-a-h-1-korea-university-math-conte

Tinku Tara 0 Comments
Pin




Question Number 213283 by issac last updated on 02/Nov/24
a_h is Cauchy Sequence. Sequence {a_h }_(h=1) ^n Satisfy Σ_(h=1) ^n a_h =0 , Σ_(h=1) ^n a_h ^2 =1 find minimum value of Summation a_1 a_n +Σ_(h=1) ^(n−1) a_h a_(h+1) (korea university math contest problem)
$${a}_{{h}} \:\mathrm{is}\:\mathrm{Cauchy}\:\mathrm{Sequence}. \\ $$$$\mathrm{Sequence}\:\left\{{a}_{{h}} \right\}_{{h}=\mathrm{1}} ^{{n}} \mathrm{Satisfy}\:\underset{{h}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\:{a}_{{h}} =\mathrm{0}\:,\:\underset{{h}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\:{a}_{{h}} ^{\mathrm{2}} =\mathrm{1} \\ $$$$\mathrm{find}\:\mathrm{minimum}\:\mathrm{value}\:\mathrm{of}\:\mathrm{Summation} \\ $$$$\:{a}_{\mathrm{1}} {a}_{{n}} +\underset{{h}=\mathrm{1}} {\overset{{n}−\mathrm{1}} {\sum}}\:{a}_{{h}} {a}_{{h}+\mathrm{1}} \\ $$$$\left(\mathrm{korea}\:\mathrm{university}\:\mathrm{math}\:\mathrm{contest}\:\mathrm{problem}\right) \\ $$
Answered by MrGaster last updated on 02/Nov/24
Σ_(h=1) ^n a_h =0,Σ_(h=1) ^n a_h ^2 =1 Σ_(h=1) ^(n−1) a_h a_(h+1) +a_1 a_n =S (Σ_(k=1) ^n a_h )^2 =(Σ_(h=1) ^n a_h )(Σ_(k=1) ^n a_k )=Σ_(h=1) ^n a_h a_k =0 Σ_(h=1) ^n a_h ^2 +2 Σ_(1≤h≤k≤n) a_h a_k =0 1+2 Σ_(1≤h<h≤n) a_h a_k =0 Σ_(1≤h<h≤n) a_h a_k =−(1/2) S=Σ_(h=1) ^(n−1) a_h a_h +1+a_1 a_n =Σ_(1≤h<h≤n) a_h a_k +a_1 a_n −Σ_(1<h<k≤n_(k≠h+1) ) a_h a_k S=−(1/2)+a_1 a_n −Σ_(1≤h<k≤n_(k≠h+1) ) a_h a_k −Σ_(h=1) ^(n−1) a_h a_(h+1) =−(1/2)−S S=−(1/2)+a_1 a_n +(1/2)+S 0=a_1 a_n +S S=−a_1 a_n Using Cauchy-schwarz inequality: (Σ_(h=1) ^n a_h b_h )^2 ≤(Σ_(h=1) ^n a_h ^2 )(Σ_(h=1) ^n b_h ^2 ) Set b_n =a_(h+1) ,b_n =a_1 (Σ_(k=1) ^n a_h a_h +1)^2 ≤(Σ_(h=1) ^n a_h ^2 )(Σ_(h=1) ^n a_(h+1) ^2 )(Σ_(h=1) ^n a_h a_(h+1) )^2 ≤1 −(√1)≤Σ_(k=1) ^n a_h a_(h+1) ≤(√1) −1≤S≤1 Thus,the minimum value of S is determinant (((−1))).
$$\underset{{h}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}{a}_{{h}} =\mathrm{0},\underset{{h}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}{a}_{{h}} ^{\mathrm{2}} =\mathrm{1} \\ $$$$\underset{{h}=\mathrm{1}} {\overset{{n}−\mathrm{1}} {\sum}}{a}_{{h}} {a}_{{h}+\mathrm{1}} +{a}_{\mathrm{1}} {a}_{{n}} ={S} \\ $$$$\left(\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}{a}_{{h}} \right)^{\mathrm{2}} =\left(\underset{{h}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}{a}_{{h}} \right)\left(\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}{a}_{{k}} \right)=\underset{{h}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}{a}_{{h}} {a}_{{k}} =\mathrm{0} \\ $$$$\underset{{h}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}{a}_{{h}} ^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}\:\:\:\underset{\mathrm{1}\leq{h}\leq{k}\leq{n}} {\sum}{a}_{{h}} {a}_{{k}} =\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{1}+\mathrm{2}\:\:\:\underset{\mathrm{1}\leq{h}<{h}\leq{n}} {\sum}\mathrm{a}_{{h}} {a}_{{k}} =\mathrm{0} \\ $$$$\underset{\mathrm{1}\leq{h}<{h}\leq{n}} {\sum}{a}_{{h}} {a}_{{k}} =−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}} \\ $$$${S}=\underset{{h}=\mathrm{1}} {\overset{{n}−\mathrm{1}} {\sum}}{a}_{{h}} {a}_{{h}} +\mathrm{1}+{a}_{\mathrm{1}} {a}_{{n}} =\underset{\mathrm{1}\leq{h}<{h}\leq{n}} {\sum}{a}_{{h}} {a}_{{k}} +{a}_{\mathrm{1}} {a}_{{n}} −\underset{\mathrm{1}<{h}<{k}\leq\mathrm{n}_{{k}\neq{h}+\mathrm{1}} } {\sum}{a}_{{h}} {a}_{{k}} \\ $$$${S}=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}+{a}_{\mathrm{1}} {a}_{{n}} −\underset{\mathrm{1}\leq{h}<{k}\leq{n}_{{k}\neq{h}+\mathrm{1}} } {\sum}{a}_{{h}} {a}_{{k}} −\underset{{h}=\mathrm{1}} {\overset{{n}−\mathrm{1}} {\sum}}{a}_{{h}} {a}_{{h}+\mathrm{1}} =−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}−{S} \\ $$$${S}=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}+{a}_{\mathrm{1}} {a}_{{n}} +\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}+{S} \\ $$$$\mathrm{0}={a}_{\mathrm{1}} {a}_{{n}} +{S} \\ $$$${S}=−{a}_{\mathrm{1}} {a}_{{n}} \\ $$$${U}\mathrm{sing}\:{C}\mathrm{auchy}-\mathrm{schwarz}\:\mathrm{inequality}: \\ $$$$\left(\underset{{h}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}{a}_{{h}} {b}_{{h}} \right)^{\mathrm{2}} \leq\left(\underset{{h}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}{a}_{{h}} ^{\mathrm{2}} \right)\left(\underset{{h}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}{b}_{{h}} ^{\mathrm{2}} \right) \\ $$$${Set}\:{b}_{{n}} ={a}_{{h}+\mathrm{1}} ,{b}_{{n}} ={a}_{\mathrm{1}} \\ $$$$\left(\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}{a}_{{h}} {a}_{{h}} +\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} \leq\left(\underset{{h}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}{a}_{{h}} ^{\mathrm{2}} \right)\left(\underset{{h}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}{a}_{{h}+\mathrm{1}} ^{\mathrm{2}} \right)\left(\underset{{h}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}{a}_{{h}} {a}_{{h}+\mathrm{1}} \right)^{\mathrm{2}} \leq\mathrm{1} \\ $$$$−\sqrt{\mathrm{1}}\leq\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}{a}_{{h}} {a}_{{h}+\mathrm{1}} \leq\sqrt{\mathrm{1}} \\ $$$$−\mathrm{1}\leq{S}\leq\mathrm{1} \\ $$$${T}\mathrm{hus},\mathrm{the}\:\mathrm{minimum}\:\mathrm{value}\:\mathrm{of}\:{S}\:\mathrm{is}\begin{array}{|c|}{−\mathrm{1}}\\\hline\end{array}. \\ $$

Pin

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *