Question Number 213343 by Spillover last updated on 03/Nov/24
Answered by MrGaster last updated on 03/Nov/24
$$=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \mathrm{sin}\left({x}\right)\mathrm{sin}\left({y}\right)\left(\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \frac{\mathrm{sin}\left({z}\right)}{{x}+{y}+{z}}{dx}\right){dydx} \\ $$$$=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \mathrm{sin}\left({x}\right)\mathrm{sin}\left({y}\right)\left[{S}\mathrm{i}\left({x}+{y}+\mathrm{1}\right)−{S}\mathrm{i}\left({x}+{y}\right)\right]{dydx} \\ $$$$=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \mathrm{sin}\left({x}\right)\left(\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \mathrm{sin}\left({y}\right)\left[{S}\mathrm{i}\left({x}+{y}+\mathrm{1}\right)−{S}\mathrm{i}\left({x}+{y}\right)\right]{dy}\right){dx} \\ $$$$=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \mathrm{sin}\left({x}\right)\left[{S}\mathrm{i}\left({x}+\mathrm{1}\right)−{S}\mathrm{i}\left({x}\right)\right]{dx}+\mathrm{sin}\left(\mathrm{1}\right)\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \mathrm{sin}\left({x}\right)\left[{C}\mathrm{i}\left({x}+\mathrm{1}\right)−{C}\mathrm{i}\left({x}\right)\mathrm{sin}\left(\mathrm{1}\right)\right]{dx} \\ $$$$=\mathrm{cos}\left(\mathrm{1}\right)\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \mathrm{sin}\left({x}\right)\left[{S}\mathrm{i}\left({x}+\mathrm{1}\right)−{S}\mathrm{i}\left({x}\right)\right]{dx}+\mathrm{sin}\left(\mathrm{1}\right)\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \mathrm{sin}\left({x}\right)\left[{C}\mathrm{i}\left({x}+\mathrm{1}−{C}\mathrm{i}\left({x}\right)\right]{dx}\right. \\ $$$$=\mathrm{cos}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{1}\right)\left[{S}\mathrm{i}\left(\mathrm{2}\right)−{S}\mathrm{i}\left(\mathrm{1}\right)\right]−\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{1}\right)\left[{C}\mathrm{i}\left(\mathrm{2}\right)−{C}\mathrm{i}\left(\mathrm{1}\right)\right] \\ $$$$=\mathrm{cos}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{1}\right)\mathrm{si}\left(\mathrm{1}\right)−\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{1}\right){C}\mathrm{i}\left(\mathrm{1}\right)+\mathrm{cos}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{1}\right){S}\mathrm{i}\left(\mathrm{2}\right)−\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{1}\right){C}\mathrm{i}\left(\mathrm{2}\right) \\ $$$$\begin{array}{|c|}{=\mathrm{cos}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{1}\right)\left[{S}\mathrm{i}\left(\mathrm{1}\right)+\mathrm{Si}\left(\mathrm{2}\right)\right]−\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{1}\right)\left[{C}\mathrm{i}\left(\mathrm{1}\right)+{C}\mathrm{i}\left(\mathrm{2}\right)\right.}\\\hline\end{array} \\ $$