Question Number 214001 by RoseAli last updated on 24/Nov/24
$$\mathrm{find}\:\mathrm{all}\:\mathrm{solutions}\:\mathrm{of}\:\mathrm{the}\:\mathrm{equation}\:{x}^{\mathrm{2}} ={x}\:\mathrm{in}\:\mathrm{each}\:\mathrm{of}\:\mathrm{the}\:\mathrm{rings}\: \\ $$$${Z}_{\mathrm{2}} \: \\ $$$${Z}_{\mathrm{3}} \\ $$$$\mathrm{and}\:\mathrm{Z}_{\mathrm{6}} \\ $$
Answered by TonyCWX08 last updated on 24/Nov/24
$${In}\:\mathbb{Z}_{\mathrm{2}} ,\:{Zero}\:{Divisor}:\:\mathrm{1}×\mathrm{2}=\mathrm{0} \\ $$$${x}^{\mathrm{2}} −{x}=\mathrm{0} \\ $$$${x}\left({x}−\mathrm{1}\right)=\mathrm{0} \\ $$$${x}=\mathrm{0}\:{or}\:{x}=\mathrm{1} \\ $$$${But}\:\mathrm{2}\left(\mathrm{2}−\mathrm{1}\right)=\mathrm{2}×\mathrm{1}=\mathrm{0} \\ $$$${So}\:{x}=\mathrm{2}\:{is}\:{also}\:{an}\:{answer} \\ $$$$ \\ $$$$ \\ $$
Answered by mehdee7396 last updated on 24/Nov/24
$${Z}_{\mathrm{2}} \Rightarrow\mathrm{2}\mid{x}\left({x}−\mathrm{1}\right)\Rightarrow{x}\in{Z} \\ $$$${Z}_{\mathrm{3}} \Rightarrow\mathrm{3}\mid{x}\left({x}−\mathrm{1}\right)\Rightarrow{x}=\mathrm{3}{k}\:{or}\:{x}=\mathrm{3}{k}+\mathrm{1} \\ $$$${Z}_{\mathrm{6}} \Rightarrow\mathrm{6}\mid{x}\left({x}−\mathrm{1}\right)\Rightarrow{x}=\mathrm{3}{k}\:{or}\:\:{x}=\mathrm{3}{k}+\mathrm{1} \\ $$$$ \\ $$