Question Number 214916 by Spillover last updated on 23/Dec/24
Answered by A5T last updated on 23/Dec/24
$$\mathrm{2017}^{\mathrm{2017}^{\mathrm{2017}} } \equiv\mathrm{1}^{\mathrm{2017}^{\mathrm{2017}} } =\mathrm{1}\left({mod}\:\mathrm{16}\right) \\ $$$$\mathrm{2017}^{\mathrm{2017}^{\mathrm{2017}} } \equiv\mathrm{142}^{\mathrm{2017}^{\mathrm{2017}} } \left({mod}\:\mathrm{625}\right) \\ $$$$\phi\left(\mathrm{625}\right)=\mathrm{500} \\ $$$$\mathrm{2017}^{\mathrm{2017}} \equiv\mathrm{52}\left({mod}\:\mathrm{125}\right);\:\mathrm{2017}^{\mathrm{2017}} \equiv\mathrm{1}\left({mod}\:\mathrm{4}\right) \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{2017}^{\mathrm{2017}} =\mathrm{125}{a}+\mathrm{52}=\mathrm{4}{b}+\mathrm{1} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{125}{a}+\mathrm{52}\equiv\mathrm{1}\left({mod}\:\mathrm{4}\right)\Rightarrow{a}\equiv\mathrm{1}\left({mod}\:\mathrm{4}\right)\Rightarrow{a}=\mathrm{4}{c}+\mathrm{1} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{2017}^{\mathrm{2017}} =\mathrm{125}\left(\mathrm{4}{c}+\mathrm{1}\right)+\mathrm{52}=\mathrm{500}{c}+\mathrm{177} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{2017}^{\mathrm{2017}^{\mathrm{2017}} } \equiv\mathrm{142}^{\mathrm{177}} \equiv\mathrm{27}\left({mod}\:\mathrm{625}\right) \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{2017}^{\mathrm{2017}^{\mathrm{2017}} } =\mathrm{625}{d}+\mathrm{27}=\mathrm{16}{e}+\mathrm{1} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{625}{d}+\mathrm{27}\equiv\mathrm{1}\left({mod}\:\mathrm{16}\right)\Rightarrow{d}\equiv\mathrm{6}\left({mod}\mathrm{16}\right) \\ $$$$\Rightarrow{d}=\mathrm{16}{f}+\mathrm{6}\Rightarrow\mathrm{625}{d}+\mathrm{27}=\mathrm{625}\left(\mathrm{16}{f}+\mathrm{6}\right)+\mathrm{27} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{2017}^{\mathrm{2017}^{\mathrm{2017}} } \equiv\mathrm{10000}{f}+\mathrm{3777} \\ $$$$\Rightarrow{Last}\:\mathrm{4}\:{digits}\:{of}\:\mathrm{2017}^{\mathrm{2017}^{\mathrm{2017}} } =\mathrm{3777} \\ $$