Question Number 214997 by MrGaster last updated on 25/Dec/24
$$ \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\underset{{k}=−\infty} {\overset{+\infty} {\sum}}\frac{{k}^{\mathrm{2}} +{k}+\mathrm{1}}{{k}^{\mathrm{4}} +\mathrm{1}}=? \\ $$$$ \\ $$
Answered by mr W last updated on 26/Dec/24
![Σ_(k=−∞) ^(+∞) ((k^2 +k+1)/(k^4 +1)) =Σ_(k=−∞) ^(+∞) (k/(k^4 +1))+Σ_(k=−∞) ^(+∞) ((k^2 +1)/(k^4 +1)) =0+Σ_(k=−∞) ^(+∞) ((k^2 +1)/(k^4 +1)) =2Σ_(k=1) ^(+∞) ((k^2 +1)/(k^4 +1))+1 =2Σ_(k=1) ^(+∞) ((k^2 +1)/((k^2 +i)(k^2 −i)))+1 =Σ_(k=1) ^(+∞) (((1−i)/(k^2 −i))+((1+i)/(k^2 +i)))+1 =Σ_(k=1) ^(+∞) ((1−i)/((k−(1/( (√2)))−(i/( (√2))))(k+(1/( (√2)))+(i/( (√2))))))+Σ_(k=1) ^(+∞) ((1+i)/((k−(1/( (√2)))+(i/( (√2))))(k+(1/( (√2)))−(i/( (√2))))))+1 =−(i/( (√2)))Σ_(k=1) ^(+∞) ((1/(k−(1/( (√2)))−(i/( (√2)))))−(1/(k+(1/( (√2)))+(i/( (√2))))))+(i/( (√2)))Σ_(k=1) ^(+∞) ((1/(k−(1/( (√2)))+(i/( (√2)))))−(1/(k+(1/( (√2)))−(i/( (√2))))))+1 =−(i/( (√2)))[Σ_(k=1) ^∞ (1/k)−γ−ψ(1−((1+i)/( (√2))))−Σ_(k=1) ^∞ (1/k)+γ+ψ(1+((1+i)/( (√2))))]+(i/( (√2)))[Σ_(k=1) ^∞ (1/k)−γ−ψ(1−((1−i)/( (√2))))−Σ_(k=1) ^∞ (1/k)+γ+ψ(1+((1−i)/( (√2))))]+1 =(i/( (√2)))[ψ(1−((1+i)/( (√2))))−ψ(1+((1+i)/( (√2))))−ψ(1−((1−i)/( (√2))))+ψ(1+((1−i)/( (√2))))]+1 =(i/( (√2)))[ψ(((1+i)/( (√2))))+π cot (((1+i)π)/( (√2)))−ψ(((1+i)/( (√2))))−((√2)/(1+i))−ψ(((1−i)/( (√2))))−π cot (((1−i)π)/( (√2)))+ψ(((1−i)/( (√2))))+((√2)/(1−i))]+1 =(i/( (√2)))[(√2)i+π cot (((1+i)π)/( (√2)))−π cot (((1−i)π)/( (√2)))]+1 =((πi)/( (√2)))[cot (((1+i)π)/( (√2)))−cot (((1−i)π)/( (√2)))] =((πi)/( (√2)))[((cot (π/( (√2))) cot ((iπ)/( (√2)))−1)/(cot (π/( (√2)))+cot ((iπ)/( (√2)))))+((cot (π/( (√2))) cot ((iπ)/( (√2)))+1)/(cot (π/( (√2)))−cot ((iπ)/( (√2)))))] =(((√2)πi(cot^2 (π/( (√2)))+1)cot ((iπ)/( (√2))))/(cot^2 (π/( (√2)))−cot^2 ((iπ)/( (√2))))) =(((√2)π(cot^2 (π/( (√2)))+1)coth (π/( (√2))))/(cot^2 (π/( (√2)))+coth^2 (π/( (√2))))) ✓ ≈4.414011009](https://www.tinkutara.com/question/Q215027.png)
$$\underset{{k}=−\infty} {\overset{+\infty} {\sum}}\frac{{k}^{\mathrm{2}} +{k}+\mathrm{1}}{{k}^{\mathrm{4}} +\mathrm{1}} \\ $$$$=\underset{{k}=−\infty} {\overset{+\infty} {\sum}}\frac{{k}}{{k}^{\mathrm{4}} +\mathrm{1}}+\underset{{k}=−\infty} {\overset{+\infty} {\sum}}\frac{{k}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}{{k}^{\mathrm{4}} +\mathrm{1}} \\ $$$$=\mathrm{0}+\underset{{k}=−\infty} {\overset{+\infty} {\sum}}\frac{{k}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}{{k}^{\mathrm{4}} +\mathrm{1}} \\ $$$$=\mathrm{2}\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{+\infty} {\sum}}\frac{{k}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}{{k}^{\mathrm{4}} +\mathrm{1}}+\mathrm{1} \\ $$$$=\mathrm{2}\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{+\infty} {\sum}}\frac{{k}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}{\left({k}^{\mathrm{2}} +{i}\right)\left({k}^{\mathrm{2}} −{i}\right)}+\mathrm{1} \\ $$$$=\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{+\infty} {\sum}}\left(\frac{\mathrm{1}−{i}}{{k}^{\mathrm{2}} −{i}}+\frac{\mathrm{1}+{i}}{{k}^{\mathrm{2}} +{i}}\right)+\mathrm{1} \\ $$$$=\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{+\infty} {\sum}}\frac{\mathrm{1}−{i}}{\left({k}−\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{2}}}−\frac{{i}}{\:\sqrt{\mathrm{2}}}\right)\left({k}+\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{2}}}+\frac{{i}}{\:\sqrt{\mathrm{2}}}\right)}+\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{+\infty} {\sum}}\frac{\mathrm{1}+{i}}{\left({k}−\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{2}}}+\frac{{i}}{\:\sqrt{\mathrm{2}}}\right)\left({k}+\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{2}}}−\frac{{i}}{\:\sqrt{\mathrm{2}}}\right)}+\mathrm{1} \\ $$$$=−\frac{{i}}{\:\sqrt{\mathrm{2}}}\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{+\infty} {\sum}}\left(\frac{\mathrm{1}}{{k}−\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{2}}}−\frac{{i}}{\:\sqrt{\mathrm{2}}}}−\frac{\mathrm{1}}{{k}+\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{2}}}+\frac{{i}}{\:\sqrt{\mathrm{2}}}}\right)+\frac{{i}}{\:\sqrt{\mathrm{2}}}\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{+\infty} {\sum}}\left(\frac{\mathrm{1}}{{k}−\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{2}}}+\frac{{i}}{\:\sqrt{\mathrm{2}}}}−\frac{\mathrm{1}}{{k}+\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{2}}}−\frac{{i}}{\:\sqrt{\mathrm{2}}}}\right)+\mathrm{1} \\ $$$$=−\frac{{i}}{\:\sqrt{\mathrm{2}}}\left[\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{{k}}−\gamma−\psi\left(\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}+{i}}{\:\sqrt{\mathrm{2}}}\right)−\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{{k}}+\gamma+\psi\left(\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}+{i}}{\:\sqrt{\mathrm{2}}}\right)\right]+\frac{{i}}{\:\sqrt{\mathrm{2}}}\left[\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{{k}}−\gamma−\psi\left(\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}−{i}}{\:\sqrt{\mathrm{2}}}\right)−\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{{k}}+\gamma+\psi\left(\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}−{i}}{\:\sqrt{\mathrm{2}}}\right)\right]+\mathrm{1} \\ $$$$=\frac{{i}}{\:\sqrt{\mathrm{2}}}\left[\psi\left(\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}+{i}}{\:\sqrt{\mathrm{2}}}\right)−\psi\left(\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}+{i}}{\:\sqrt{\mathrm{2}}}\right)−\psi\left(\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}−{i}}{\:\sqrt{\mathrm{2}}}\right)+\psi\left(\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}−{i}}{\:\sqrt{\mathrm{2}}}\right)\right]+\mathrm{1} \\ $$$$=\frac{{i}}{\:\sqrt{\mathrm{2}}}\left[\psi\left(\frac{\mathrm{1}+{i}}{\:\sqrt{\mathrm{2}}}\right)+\pi\:\mathrm{cot}\:\frac{\left(\mathrm{1}+{i}\right)\pi}{\:\sqrt{\mathrm{2}}}−\psi\left(\frac{\mathrm{1}+{i}}{\:\sqrt{\mathrm{2}}}\right)−\frac{\sqrt{\mathrm{2}}}{\mathrm{1}+{i}}−\psi\left(\frac{\mathrm{1}−{i}}{\:\sqrt{\mathrm{2}}}\right)−\pi\:\mathrm{cot}\:\frac{\left(\mathrm{1}−{i}\right)\pi}{\:\sqrt{\mathrm{2}}}+\psi\left(\frac{\mathrm{1}−{i}}{\:\sqrt{\mathrm{2}}}\right)+\frac{\sqrt{\mathrm{2}}}{\mathrm{1}−{i}}\right]+\mathrm{1} \\ $$$$=\frac{{i}}{\:\sqrt{\mathrm{2}}}\left[\sqrt{\mathrm{2}}{i}+\pi\:\mathrm{cot}\:\frac{\left(\mathrm{1}+{i}\right)\pi}{\:\sqrt{\mathrm{2}}}−\pi\:\mathrm{cot}\:\frac{\left(\mathrm{1}−{i}\right)\pi}{\:\sqrt{\mathrm{2}}}\right]+\mathrm{1} \\ $$$$=\frac{\pi{i}}{\:\sqrt{\mathrm{2}}}\left[\mathrm{cot}\:\frac{\left(\mathrm{1}+{i}\right)\pi}{\:\sqrt{\mathrm{2}}}−\mathrm{cot}\:\frac{\left(\mathrm{1}−{i}\right)\pi}{\:\sqrt{\mathrm{2}}}\right] \\ $$$$=\frac{\pi{i}}{\:\sqrt{\mathrm{2}}}\left[\frac{\mathrm{cot}\:\frac{\pi}{\:\sqrt{\mathrm{2}}}\:\mathrm{cot}\:\frac{{i}\pi}{\:\sqrt{\mathrm{2}}}−\mathrm{1}}{\mathrm{cot}\:\frac{\pi}{\:\sqrt{\mathrm{2}}}+\mathrm{cot}\:\frac{{i}\pi}{\:\sqrt{\mathrm{2}}}}+\frac{\mathrm{cot}\:\frac{\pi}{\:\sqrt{\mathrm{2}}}\:\mathrm{cot}\:\frac{{i}\pi}{\:\sqrt{\mathrm{2}}}+\mathrm{1}}{\mathrm{cot}\:\frac{\pi}{\:\sqrt{\mathrm{2}}}−\mathrm{cot}\:\frac{{i}\pi}{\:\sqrt{\mathrm{2}}}}\right] \\ $$$$=\frac{\sqrt{\mathrm{2}}\pi{i}\left(\mathrm{cot}^{\mathrm{2}} \:\frac{\pi}{\:\sqrt{\mathrm{2}}}+\mathrm{1}\right)\mathrm{cot}\:\frac{{i}\pi}{\:\sqrt{\mathrm{2}}}}{\mathrm{cot}^{\mathrm{2}} \:\frac{\pi}{\:\sqrt{\mathrm{2}}}−\mathrm{cot}^{\mathrm{2}} \:\frac{{i}\pi}{\:\sqrt{\mathrm{2}}}} \\ $$$$=\frac{\sqrt{\mathrm{2}}\pi\left(\mathrm{cot}^{\mathrm{2}} \:\frac{\pi}{\:\sqrt{\mathrm{2}}}+\mathrm{1}\right)\mathrm{coth}\:\frac{\pi}{\:\sqrt{\mathrm{2}}}}{\mathrm{cot}^{\mathrm{2}} \:\frac{\pi}{\:\sqrt{\mathrm{2}}}+\mathrm{coth}^{\mathrm{2}} \:\frac{\pi}{\:\sqrt{\mathrm{2}}}}\:\:\:\checkmark \\ $$$$\approx\mathrm{4}.\mathrm{414011009} \\ $$
Commented by mr W last updated on 26/Dec/24
$${is}\:{this}\:{correct}?\: \\ $$$${do}\:{you}\:{have}\:{an}\:{other}\:{easier}\:{path}? \\ $$