Question Number 215496 by MATHEMATICSAM last updated on 08/Jan/25
$$\int_{\mathrm{0}} ^{\pi} \frac{{x}\mathrm{tan}{x}}{\mathrm{sec}{x}\:+\:\mathrm{tan}{x}}\:{dx} \\ $$$$\mathrm{Solve}\:\mathrm{the}\:\mathrm{integral}. \\ $$
Answered by alephnull last updated on 08/Jan/25
$$ \\ $$$$\mathrm{sec}\left({x}\right)+\mathrm{tan}\left({x}\right)=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{cos}\left({x}\right)}+\frac{\mathrm{sin}\:\left({x}\right)}{\mathrm{cos}\:\left({x}\right)}=\frac{\mathrm{1}+\mathrm{sin}\:\left({x}\right)}{\mathrm{cos}\:\left({x}\right)} \\ $$$$\mathrm{Thus}: \\ $$$${I}=\int_{\mathrm{0}} ^{\pi} \frac{{x}\:\mathrm{tan}\left({x}\right)\mathrm{cos}\left({x}\right)}{\mathrm{1}+\mathrm{sin}\left({x}\right)} \\ $$$$\mathrm{Let}\:{u}\:=\mathrm{1}+\mathrm{sin}\left({x}\right)\:\mathrm{such}\:\mathrm{that}\:\mathrm{d}{u}=\mathrm{cos}\left({x}\right)\mathrm{d}{x} \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{The}\:\mathrm{limits}\:\mathrm{of}\:\mathrm{I}\:\mathrm{evaluate}\:\mathrm{to}\:\mathrm{0}. \\ $$$$\mathrm{I}=\mathrm{0} \\ $$