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x-and-y-are-reals-or-complex-let-put-x-0-1-x-1-x-x-2-x-x-1-x-n-x-x-1-x-2-x-n-1-prove-that-x-y-n-k-0-n-C-n-k-x-n-k-y-k-

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Question Number 73027 by mathmax by abdo last updated on 05/Nov/19
x and y are reals(or complex) let put x^((0)) =1 ,x^((1)) =x x^((2)) =x(x−1).....x^((n)) =x(x−1)(x−2)...(x−n+1)prove that (x+y)^((n)) =Σ_(k=0) ^n C_n ^k x^((n−k)) y^((k))
$${x}\:{and}\:{y}\:{are}\:{reals}\left({or}\:{complex}\right)\:{let}\:{put}\:{x}^{\left(\mathrm{0}\right)} =\mathrm{1}\:,{x}^{\left(\mathrm{1}\right)} ={x} \\ $$$${x}^{\left(\mathrm{2}\right)} ={x}\left({x}−\mathrm{1}\right)…..{x}^{\left({n}\right)} ={x}\left({x}−\mathrm{1}\right)\left({x}−\mathrm{2}\right)…\left({x}−{n}+\mathrm{1}\right){prove}\:{that} \\ $$$$\left({x}+{y}\right)^{\left({n}\right)} =\sum_{{k}=\mathrm{0}} ^{{n}} \:{C}_{{n}} ^{{k}} \:\:{x}^{\left({n}−{k}\right)} {y}^{\left({k}\right)} \\ $$
Answered by mind is power last updated on 05/Nov/19
for n=0 (x+y)^0 =1=C_0 ^0 x^0 y^0 =1 suppose ∀n∈N (x+y)^n =ΣC_k ^n x^((n−k)) y^k (x+y)^(n+1) =(x+y)^n .(x+y−n) ={ΣC_n ^k x^((n−k)) y^((k)) }(x+y−n) n=(n−k)+k (x+y−n)=(x−(n−k)+y−k) ⇒Σ_(k=0) ^n C_n ^k x^((n−k)) .y^((k)) .(x−(n−k))+Σ_(k=0) ^n C_n ^k x^((n−k)) y^k .(y−k) =Σ_(k=0) ^n C_n ^k x^((n−k)) .(x−(n−k)).y^k +Σ_(k=0) ^n C_n ^k x^((n−k)) .y^k .(y−k) x^((n−k)) (x−(n−k))=x^((n+1−k)) y^k .(y−k)=y^((k+1)) =Σ_(k=0) ^n C_n ^k x^((n+1−k)) y^k +Σ_(k=0) ^n C_n ^k x^((n−k)) y^(k+1) k→k+1 in 2nd =Σ_(k=0) ^n C_n ^k x^((n+1−k)) y^k +Σ_(k=1) ^(n+1) C_n ^(k−1) x^((n−k+1)) y^((k)) =Σ_(k=1) ^n (C_n ^k +C_n ^k )x^((n+1−k)) y^((k)) +C_0 ^0 x^((n+1)) y^0 +C_n ^n x^0 y^((n+1)) C_n ^n x^0 y^((n+1)) =C_(n+1) ^(n+1) x^((n+1−(n+1))) y^((n+1)) C_n ^0 x^(n+1) y^0 =C_(n+1) ^0 .x^((n+1−0)) y^((0)) C_n ^k +C_n ^(k−1) =((n!)/(k!(n−k)!)).((n!)/((k−1)!.(n−k+1)!))=((n!.(n+1−k)+n!.k)/(k!(n+1−k)!)) =(((n+1)!)/(k!(n+1−k)!))=C_(n+1) ^k =Σ_(k=1) ^n C_(n+1) ^k x^((n+1−k)) y^k +C_(n+1) ^0 x^(n+1) y^0 +C_(n+1) ^(n+1) x^((n+1−(n+1))) y^(n+1) =Σ_(k=0) ^(n+1) x^((n+1−k)) y^((k)) =(x+y)^(n+1)
$$\mathrm{for}\:\mathrm{n}=\mathrm{0} \\ $$$$\left(\mathrm{x}+\mathrm{y}\right)^{\mathrm{0}} =\mathrm{1}=\mathrm{C}_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{0}} \mathrm{x}^{\mathrm{0}} \mathrm{y}^{\mathrm{0}} =\mathrm{1} \\ $$$$\mathrm{suppose}\:\forall\mathrm{n}\in\mathbb{N}\:\left(\mathrm{x}+\mathrm{y}\right)^{\mathrm{n}} =\Sigma\mathrm{C}_{\mathrm{k}} ^{\mathrm{n}} \mathrm{x}^{\left(\mathrm{n}−\mathrm{k}\right)} \mathrm{y}^{\mathrm{k}} \\ $$$$\left(\mathrm{x}+\mathrm{y}\right)^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} =\left(\mathrm{x}+\mathrm{y}\right)^{\mathrm{n}} .\left(\mathrm{x}+\mathrm{y}−\mathrm{n}\right) \\ $$$$=\left\{\Sigma\mathrm{C}_{\mathrm{n}} ^{\mathrm{k}} \mathrm{x}^{\left(\mathrm{n}−\mathrm{k}\right)} \mathrm{y}^{\left(\mathrm{k}\right)} \right\}\left(\mathrm{x}+\mathrm{y}−\mathrm{n}\right) \\ $$$$\mathrm{n}=\left(\mathrm{n}−\mathrm{k}\right)+\mathrm{k} \\ $$$$\left(\mathrm{x}+\mathrm{y}−\mathrm{n}\right)=\left(\mathrm{x}−\left(\mathrm{n}−\mathrm{k}\right)+\mathrm{y}−\mathrm{k}\right) \\ $$$$\Rightarrow\underset{\mathrm{k}=\mathrm{0}} {\overset{\mathrm{n}} {\sum}}\mathrm{C}_{\mathrm{n}} ^{\mathrm{k}} \mathrm{x}^{\left(\mathrm{n}−\mathrm{k}\right)} .\mathrm{y}^{\left(\mathrm{k}\right)} .\left(\mathrm{x}−\left(\mathrm{n}−\mathrm{k}\right)\right)+\underset{\mathrm{k}=\mathrm{0}} {\overset{\mathrm{n}} {\sum}}\mathrm{C}_{\mathrm{n}} ^{\mathrm{k}} \mathrm{x}^{\left(\mathrm{n}−\mathrm{k}\right)} \mathrm{y}^{\mathrm{k}} .\left(\mathrm{y}−\mathrm{k}\right) \\ $$$$=\underset{\mathrm{k}=\mathrm{0}} {\overset{\mathrm{n}} {\sum}}\mathrm{C}_{\mathrm{n}} ^{\mathrm{k}} \mathrm{x}^{\left(\mathrm{n}−\mathrm{k}\right)} .\left(\mathrm{x}−\left(\mathrm{n}−\mathrm{k}\right)\right).\mathrm{y}^{\mathrm{k}} +\underset{\mathrm{k}=\mathrm{0}} {\overset{\mathrm{n}} {\sum}}\mathrm{C}_{\mathrm{n}} ^{\mathrm{k}} \mathrm{x}^{\left(\mathrm{n}−\mathrm{k}\right)} .\mathrm{y}^{\mathrm{k}} .\left(\mathrm{y}−\mathrm{k}\right) \\ $$$$\mathrm{x}^{\left(\mathrm{n}−\mathrm{k}\right)} \left(\mathrm{x}−\left(\mathrm{n}−\mathrm{k}\right)\right)=\mathrm{x}^{\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}−\mathrm{k}\right)} \\ $$$$\mathrm{y}^{\mathrm{k}} .\left(\mathrm{y}−\mathrm{k}\right)=\mathrm{y}^{\left(\mathrm{k}+\mathrm{1}\right)} \\ $$$$=\underset{\mathrm{k}=\mathrm{0}} {\overset{\mathrm{n}} {\sum}}\mathrm{C}_{\mathrm{n}} ^{\mathrm{k}} \mathrm{x}^{\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}−\mathrm{k}\right)} \mathrm{y}^{\mathrm{k}} +\underset{\mathrm{k}=\mathrm{0}} {\overset{\mathrm{n}} {\sum}}\mathrm{C}_{\mathrm{n}} ^{\mathrm{k}} \mathrm{x}^{\left(\mathrm{n}−\mathrm{k}\right)} \mathrm{y}^{\mathrm{k}+\mathrm{1}} \\ $$$$\mathrm{k}\rightarrow\mathrm{k}+\mathrm{1}\:\mathrm{in}\:\mathrm{2nd}\: \\ $$$$=\underset{\mathrm{k}=\mathrm{0}} {\overset{\mathrm{n}} {\sum}}\mathrm{C}_{\mathrm{n}} ^{\mathrm{k}} \mathrm{x}^{\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}−\mathrm{k}\right)} \mathrm{y}^{\mathrm{k}} +\underset{\mathrm{k}=\mathrm{1}} {\overset{\mathrm{n}+\mathrm{1}} {\sum}}\mathrm{C}_{\mathrm{n}} ^{\mathrm{k}−\mathrm{1}} \mathrm{x}^{\left(\mathrm{n}−\mathrm{k}+\mathrm{1}\right)} \mathrm{y}^{\left(\mathrm{k}\right)} \\ $$$$=\underset{\mathrm{k}=\mathrm{1}} {\overset{\mathrm{n}} {\sum}}\left(\mathrm{C}_{\mathrm{n}} ^{\mathrm{k}} +\mathrm{C}_{\mathrm{n}} ^{\mathrm{k}} \right)\mathrm{x}^{\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}−\mathrm{k}\right)} \mathrm{y}^{\left(\mathrm{k}\right)} +\mathrm{C}_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{0}} \mathrm{x}^{\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)} \mathrm{y}^{\mathrm{0}} +\mathrm{C}_{\mathrm{n}} ^{\mathrm{n}} \mathrm{x}^{\mathrm{0}} \mathrm{y}^{\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)} \\ $$$$\mathrm{C}_{\mathrm{n}} ^{\mathrm{n}} \mathrm{x}^{\mathrm{0}} \mathrm{y}^{\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)} =\mathrm{C}_{\mathrm{n}+\mathrm{1}} ^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} \mathrm{x}^{\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}−\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)\right)} \mathrm{y}^{\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)} \\ $$$$\mathrm{C}_{\mathrm{n}} ^{\mathrm{0}} \mathrm{x}^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} \mathrm{y}^{\mathrm{0}} =\mathrm{C}_{\mathrm{n}+\mathrm{1}} ^{\mathrm{0}} .\mathrm{x}^{\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}−\mathrm{0}\right)} \mathrm{y}^{\left(\mathrm{0}\right)} \\ $$$$\mathrm{C}_{\mathrm{n}} ^{\mathrm{k}} +\mathrm{C}_{\mathrm{n}} ^{\mathrm{k}−\mathrm{1}} =\frac{\mathrm{n}!}{\mathrm{k}!\left(\mathrm{n}−\mathrm{k}\right)!}.\frac{\mathrm{n}!}{\left(\mathrm{k}−\mathrm{1}\right)!.\left(\mathrm{n}−\mathrm{k}+\mathrm{1}\right)!}=\frac{\mathrm{n}!.\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}−\mathrm{k}\right)+\mathrm{n}!.\mathrm{k}}{\mathrm{k}!\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}−\mathrm{k}\right)!} \\ $$$$=\frac{\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)!}{\mathrm{k}!\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}−\mathrm{k}\right)!}=\mathrm{C}_{\mathrm{n}+\mathrm{1}} ^{\mathrm{k}} \\ $$$$=\underset{\mathrm{k}=\mathrm{1}} {\overset{\mathrm{n}} {\sum}}\mathrm{C}_{\mathrm{n}+\mathrm{1}} ^{\mathrm{k}} \mathrm{x}^{\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}−\mathrm{k}\right)} \mathrm{y}^{\mathrm{k}} +\mathrm{C}_{\mathrm{n}+\mathrm{1}} ^{\mathrm{0}} \mathrm{x}^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} \mathrm{y}^{\mathrm{0}} +\mathrm{C}_{\mathrm{n}+\mathrm{1}} ^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} \mathrm{x}^{\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}−\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)\right)} \mathrm{y}^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} \\ $$$$=\underset{\mathrm{k}=\mathrm{0}} {\overset{\mathrm{n}+\mathrm{1}} {\sum}}\mathrm{x}^{\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}−\mathrm{k}\right)} \mathrm{y}^{\left(\mathrm{k}\right)} =\left(\mathrm{x}+\mathrm{y}\right)^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} \: \\ $$$$ \\ $$
Commented by mathmax by abdo last updated on 05/Nov/19
thank you sir.
$${thank}\:{you}\:{sir}. \\ $$
Commented by mind is power last updated on 06/Nov/19
most welcom
$$\mathrm{most}\:\mathrm{welcom} \\ $$

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