Find-x-n-n-Z-satisfying-x-0-0-x-1-1-and-x-n-1-x-n-x-n-1-2-1-x-n-1-x-n-2-1-for-n-1-

Question Number 7532 by Yozzia last updated on 02/Sep/16

$${Find}\:{x}_{{n}} \:\left({n}\in\mathbb{Z}\right)\:{satisfying}\:{x}_{\mathrm{0}} =\mathrm{0},\:{x}_{\mathrm{1}} =\mathrm{1}\:{and} \\ $$$${x}_{{n}+\mathrm{1}} ={x}_{{n}} \sqrt{{x}_{{n}−\mathrm{1}} ^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}+{x}_{{n}−\mathrm{1}} \sqrt{{x}_{{n}} ^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}\:{for}\:{n}\geqslant\mathrm{1}. \\ $$

Commented by sou1618 last updated on 03/Sep/16

$${when}\:{n}=\mathrm{1} \\ $$$$\:\:{x}_{\mathrm{2}} =\mathrm{1} \\ $$$${when}\:{n}=\mathrm{2} \\ $$$$\:\:{x}_{\mathrm{3}} =\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2}} \\ $$$${when}\:{n}=\mathrm{3} \\ $$$$\:\:{x}_{\mathrm{4}} =\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2}}\sqrt{\mathrm{2}}+\sqrt{\mathrm{8}+\mathrm{1}}=\mathrm{7} \\ $$$$… \\ $$$${when}\:{n}>\mathrm{2}\:\:\:\:\:{x}_{{n}} ,{x}_{{n}−\mathrm{1}} >\mathrm{1} \\ $$$${x}_{{n}+\mathrm{1}} ={x}_{{n}} \sqrt{{x}_{{n}−\mathrm{1}} ^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}+{x}_{{n}−\mathrm{1}} \sqrt{{x}_{{n}} ^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}\centerdot\centerdot\centerdot\left(\ast\right) \\ $$$${x}_{{n}} =\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left({y}_{{n}} −\frac{\mathrm{1}}{{y}_{{n}} }\right)\left({y}_{{n}} \geqslant\mathrm{1}\right) \\ $$$$\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left({y}_{{n}+\mathrm{1}} −{y}_{{n}+\mathrm{1}} ^{−\mathrm{1}} \right)=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left({y}_{{n}} −{y}_{{n}} ^{−\mathrm{1}} \right)\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left({y}_{{n}−\mathrm{1}} +{y}_{{n}−\mathrm{1}} ^{−\mathrm{1}} \right)+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left({y}_{{n}−\mathrm{1}} −{y}_{{n}−\mathrm{1}} ^{−\mathrm{1}} \right)\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left({y}_{{n}} +{y}_{{n}} ^{−\mathrm{1}} \right) \\ $$$$\mathrm{2}\left({y}_{{n}+\mathrm{1}} −{y}_{{n}+\mathrm{1}} ^{−\mathrm{1}} \right)=\left({y}_{{n}} −{y}_{{n}} ^{−\mathrm{1}} \right)\left({y}_{{n}−\mathrm{1}} +{y}_{{n}−\mathrm{1}} ^{−\mathrm{1}} \right)+\left({y}_{{n}−\mathrm{1}} −{y}_{{n}−\mathrm{1}} ^{−\mathrm{1}} \right)\left({y}_{{n}} +{y}_{{n}} ^{−\mathrm{1}} \right) \\ $$$$\mathrm{2}\left({y}_{{n}+\mathrm{1}} −{y}_{{n}+\mathrm{1}} ^{−\mathrm{1}} \right)=\mathrm{2}{y}_{{n}} {y}_{{n}−\mathrm{1}} −\mathrm{2}{y}_{{n}} ^{−\mathrm{1}} {y}_{{n}} ^{−\mathrm{1}} \\ $$$${y}_{{n}+\mathrm{1}} −\frac{\mathrm{1}}{{y}_{{n}+\mathrm{1}} }={y}_{{n}} {y}_{{n}−\mathrm{1}} −\frac{\mathrm{1}}{{y}_{{n}} {y}_{{n}−\mathrm{1}} } \\ $$$${y}_{{n}+\mathrm{1}} ^{\mathrm{2}} −\left({y}_{{n}} {y}_{{n}−\mathrm{1}} −\frac{\mathrm{1}}{{y}_{{n}} {y}_{{n}−\mathrm{1}} }\right){y}_{{n}+\mathrm{1}} −\mathrm{1}=\mathrm{0} \\ $$$$\left({y}_{{n}+\mathrm{1}} −{y}_{{n}} {y}_{{n}−\mathrm{1}} \right)\left({y}_{{n}+\mathrm{1}} +\frac{\mathrm{1}}{{y}_{{n}} {y}_{{n}−\mathrm{1}} }\right)=\mathrm{0} \\ $$$${y}_{{n}+\mathrm{1}} ={y}_{{n}} {y}_{{n}−\mathrm{1}} \left(\because{y}_{{n}} >\mathrm{0}\right) \\ $$$$ \\ $$$${x}_{\mathrm{0}} =\mathrm{0},{y}_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{2}} −\mathrm{0}{y}_{\mathrm{0}} −\mathrm{1}=\mathrm{0} \\ $$$$\:\:\:{y}_{\mathrm{0}} =\mathrm{1} \\ $$$${x}_{\mathrm{1}} =\mathrm{1},{y}_{\mathrm{1}} ^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}{y}_{\mathrm{1}} −\mathrm{1}=\mathrm{0} \\ $$$$\:\:{y}_{\mathrm{1}} =\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{2}} \\ $$$${y}_{{n}} ={y}_{{n}−\mathrm{1}} {y}_{{n}−\mathrm{2}} ={y}_{{n}−\mathrm{2}} ^{\mathrm{2}} {y}_{{n}−\mathrm{3}} ={y}_{{n}−\mathrm{3}} ^{\mathrm{3}} {y}_{{n}−\mathrm{4}} ^{\mathrm{2}} ={y}_{{n}−\mathrm{4}} ^{\mathrm{5}} {y}_{{n}−\mathrm{5}} ^{\mathrm{3}} =… \\ $$$${y}_{\mathrm{2}} =\mathrm{1}\left(\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{2}}\right),{y}_{\mathrm{3}} =\left(\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{2}} ,{y}_{\mathrm{4}} =\left(\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{3}} ,{y}_{\mathrm{5}} =\left(\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{5}} … \\ $$$$\mathrm{1}\:\mathrm{1}\:\mathrm{2}\:\mathrm{3}\:\mathrm{5}\:\mathrm{8}\:\mathrm{13}\:\mathrm{21}…{fibonacci} \\ $$$${y}_{{n}} =\left(\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{2}}\right)^{{f}\left({n}\right)} \:\:\:\begin{cases}{{f}\left({n}\right)={f}\left({n}−\mathrm{1}\right)+{f}\left({n}−\mathrm{2}\right)}\\{{f}\left(\mathrm{0}\right)=\mathrm{0},{f}\left(\mathrm{1}\right)=\mathrm{1}}\end{cases} \\ $$$${f}\left({n}\right)=\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{5}}}\left\{\left(\frac{\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{5}}}{\mathrm{2}}\right)^{{n}} −\left(\frac{\mathrm{1}−\sqrt{\mathrm{5}}}{\mathrm{2}}\right)^{{n}} \right\} \\ $$$$\:\:\:\:\:=\frac{\phi^{{n}} −\left(−\phi\right)^{−{n}} }{\:\sqrt{\mathrm{5}}},\left(\phi=\frac{\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{5}}}{\mathrm{2}}\right) \\ $$$$ \\ $$$$ \\ $$$${x}_{{n}} =\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left\{\left(\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{2}}\right)^{{f}\left({n}\right)} −\left(\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{2}}\right)^{−{f}\left({n}\right)} \right\} \\ $$$$++++++++++++ \\ $$$${x}_{\mathrm{0}} =\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left\{\left(\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{0}} −\left(\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{0}} \right\}=\mathrm{0} \\ $$$${x}_{\mathrm{1}} =\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left\{\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{2}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{2}}}\right\}=\frac{\left(\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}\left(\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{2}}\right)}=\mathrm{1} \\ $$$${x}_{\mathrm{2}} ={x}_{\mathrm{1}} =\mathrm{1} \\ $$$${x}_{\mathrm{3}} =\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left\{\left(\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{2}} −\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{2}} }\right\}=\frac{\left(\left(\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{2}} \right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}\left(\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{2}} } \\ $$$$\:\:\:\:=\frac{\left(\mathrm{3}+\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2}}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{3}+\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2}}−\mathrm{1}\right)}{\mathrm{2}\left(\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{2}} } \\ $$$$\:\:\:\:=\frac{\left(\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2}}\left(\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{2}}\right)\right)\left(\mathrm{2}\left(\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{2}}\right)\right)}{\mathrm{2}\left(\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{2}} }=\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2}} \\ $$$$… \\ $$

Commented by sou1618 last updated on 03/Sep/16

$${if}\:{you}\:{need}\:{fibonacci}={f}\left({n}\right) \\ $$$${a}_{\mathrm{0}} =\mathrm{0},{a}_{\mathrm{1}} =\mathrm{1} \\ $$$${a}_{{n}} ={a}_{{n}−\mathrm{1}} +{a}_{{n}−\mathrm{2}} \left({n}\geqslant\mathrm{2}\right) \\ $$$${a}_{{n}} −{pa}_{{n}−\mathrm{1}} ={q}\left({a}_{{n}−\mathrm{1}} −{pa}_{{n}−\mathrm{2}} \right) \\ $$$${a}_{{n}} =\left({p}+{q}\right){a}_{{n}−\mathrm{1}} −{pqa}_{{n}−\mathrm{2}} \\ $$$$\begin{cases}{{p}+{q}=\mathrm{1}}\\{{pq}=−\mathrm{1}}\end{cases} \\ $$$${p}^{\mathrm{2}} −{p}+{p}=\mathrm{0} \\ $$$${p}=\frac{\mathrm{1}\pm\sqrt{\mathrm{5}}}{\mathrm{2}} \\ $$$$\left({p},{q}\right)=\left(\frac{\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{5}}}{\mathrm{2}},\frac{\mathrm{1}−\sqrt{\mathrm{5}}}{\mathrm{2}}\right) \\ $$$$\begin{cases}{{a}_{{n}} −{pa}_{{n}−\mathrm{1}} ={q}\left({a}_{{n}−\mathrm{1}} −{pa}_{{n}−\mathrm{2}} \right)}\\{{a}_{{n}} −{qa}_{{n}−\mathrm{1}} ={p}\left({a}_{{n}−\mathrm{1}} −{qa}_{{n}−\mathrm{2}} \right)}\end{cases} \\ $$$${when}\:{n}=\mathrm{2} \\ $$$$\begin{cases}{{a}_{\mathrm{1}} −{pa}_{\mathrm{0}} =\mathrm{1}}\\{{a}_{\mathrm{1}} −{qa}_{\mathrm{0}} =\mathrm{1}}\end{cases} \\ $$$${so} \\ $$$$\begin{cases}{{a}_{{n}} −{pa}_{{n}−\mathrm{1}} ={q}^{{n}−\mathrm{1}} \centerdot\centerdot\centerdot\left(\mathrm{1}\right)}\\{{a}_{{n}} −{qa}_{{n}−\mathrm{1}} ={p}^{{n}−\mathrm{1}} \centerdot\centerdot\centerdot\left(\mathrm{2}\right)}\end{cases} \\ $$$$\left(\mathrm{2}\right)−\left(\mathrm{1}\right)\Rightarrow \\ $$$$\left({p}−{q}\right){a}_{{n}−\mathrm{1}} ={p}^{{n}−\mathrm{1}} −{q}^{{n}−\mathrm{1}} \\ $$$${a}_{{n}} =\frac{\mathrm{1}}{{p}−{q}}\left({p}^{{n}} −{q}^{{n}} \right) \\ $$$${a}_{{n}} =\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{5}}}\left\{\left(\frac{\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{5}}}{\mathrm{2}}\right)^{{n}} −\left(\frac{\mathrm{1}−\sqrt{\mathrm{5}}}{\mathrm{2}}\right)^{{n}} \right\} \\ $$$$ \\ $$$${f}\left({n}\right)={a}_{{n}} \\ $$

Commented by Yozzia last updated on 03/Sep/16

$${Nicely}!\:{What}\:{if}\:{you}\:{let}\:{x}_{{n}} ={sinh}\left\{{u}\left({n}\right)\right\}\:{initially}? \\ $$$$ \\ $$$$ \\ $$

Commented by sou1618 last updated on 03/Sep/16

$${it}'{s}\:{nice}\:{idea}!! \\ $$$${x}_{{n}} ={sinh}\left({u}_{{n}} \right) \\ $$$${sinh}\left({u}_{{n}+\mathrm{1}} \right)={sinh}\left({u}_{{n}} \right){cosh}\left({u}_{{n}−\mathrm{1}} \right)+{sinh}\left({u}_{{n}−\mathrm{1}} \right){cosh}\left({u}_{{n}} \right) \\ $$$${sinh}\left({u}_{{n}+\mathrm{1}} \right)={sinh}\left({u}_{{n}} +{u}_{{n}−\mathrm{1}} \right) \\ $$$${u}_{{n}+\mathrm{1}} ={u}_{{n}} +{u}_{{n}−\mathrm{1}} \\ $$$${u}_{\mathrm{0}} =\mathrm{0} \\ $$$${u}_{\mathrm{1}} ={ln}\left(\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{2}}\right) \\ $$$${so} \\ $$$${u}_{{n}} ={ln}\left(\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{2}}\right)×{f}\left({n}\right) \\ $$$$ \\ $$$${x}_{{n}} ={sinh}\left\{{ln}\left(\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{2}}\right){f}\left({n}\right)\right\} \\ $$$$\:\:\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left\{\left(\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{2}}\right)^{{f}\left({n}\right)} −\left(\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{2}}\right)^{−{f}\left({n}\right)} \right\} \\ $$

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