Question Number 73491 by abdomathmax last updated on 13/Nov/19
$${calculate}\:\int_{−\infty} ^{+\infty} \:\:{e}^{−\mathrm{3}{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}{x}} \:{dx} \\ $$
Commented by mathmax by abdo last updated on 14/Nov/19
$${let}\:{I}\:=\int_{−\infty} ^{+\infty} \:{e}^{−\mathrm{3}{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}{x}} \:{dx}\:\Rightarrow\:{I}=\int_{−\infty} ^{+\infty} \:\:{e}^{−\left(\mathrm{3}{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{2}{x}\right)} {dx} \\ $$$$=\int_{−\infty} ^{+\infty} \:{e}^{−\left\{\:\left(\sqrt{\mathrm{3}}{x}\right)^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{2}\frac{\sqrt{\mathrm{3}}{x}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}\:\:+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\right)} {dx} \\ $$$$=\int_{−\infty} ^{+\infty} \:\:{e}^{−\left\{\:\:\left(\sqrt{\mathrm{3}}{x}+\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}\:}\right)^{\mathrm{2}} −\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\right\}} {dx}\:={e}^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}} \:\int_{−\infty} ^{+\infty} \:{e}^{−\left(\sqrt{\mathrm{3}}{x}+\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}\right)^{\mathrm{2}} } {dx} \\ $$$$=_{\sqrt{\mathrm{3}}{x}\:+\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}\:}={u}} \:\:\:{e}^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}} \:\int_{−\infty} ^{+\infty} \:{e}^{−{u}^{\mathrm{2}} } \:\frac{{du}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}\:=\frac{\left(^{\mathrm{3}} \sqrt{{e}}\right)}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}\:\int_{−\infty} ^{+\infty} \:{e}^{−{u}^{\mathrm{2}} } {du} \\ $$$$=\frac{\sqrt{\pi}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}\:×\left(^{\mathrm{3}} \sqrt{{e}}\right). \\ $$