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Q-cos-2-66-0-sin-2-6-0-cos-2-48-0-sin-2-12-0-1-16-

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Question Number 8402 by rhm last updated on 10/Oct/16
Q. (cos^2 66^0 −sin^2 6^0 )(cos^2 48^0 −sin^2 12^0 ) = (1/(16))
$${Q}.\:\left({cos}^{\mathrm{2}} \mathrm{66}^{\mathrm{0}} −{sin}^{\mathrm{2}} \mathrm{6}^{\mathrm{0}} \right)\left({cos}^{\mathrm{2}} \mathrm{48}^{\mathrm{0}} −{sin}^{\mathrm{2}} \mathrm{12}^{\mathrm{0}} \right) \\ $$$$=\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{16}} \\ $$
Answered by sandy_suhendra last updated on 10/Oct/16
cos 66° = sin 24° cos 48° = sin 42° =(sin^2 24−sin^2 6)(sin^2 42−sin^2 12) =(sin 24+sin 6)(sin 24−sin 6)(sin 42+sin 12)(sin 42−sin 12) =(2 sin 15 cos 9)(2 cos15 sin 9)(2 sin 27 cos 15)(2 cos 27 sin 15) =(2 sin 15 cos 15)(2 sin 9 cos 9)(2 sin 15 cos 15)(2 sin 27 cos 27) =sin 30 sin 18 sin 30 sin 54 =(1/4) sin 18 sin 54 ×((cos 18)/(cos 18)) =(1/4)×((sin 18 cos 18 sin 54)/(cos 18)) =(1/4)×(1/2)×((sin 36 sin 54)/(cos 18)) =(1/8)×(((− (1/2) cos 90 + (1/2) cos 18))/(cos 18)) =(1/8)×(((1/2)cos 18)/(cos 18)) = (1/8)×(1/2)=(1/(16))
$$\mathrm{cos}\:\mathrm{66}°\:=\:\mathrm{sin}\:\mathrm{24}° \\ $$$$\mathrm{cos}\:\mathrm{48}°\:=\:\mathrm{sin}\:\mathrm{42}° \\ $$$$=\left(\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \mathrm{24}−\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \mathrm{6}\right)\left(\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \mathrm{42}−\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \mathrm{12}\right) \\ $$$$=\left(\mathrm{sin}\:\mathrm{24}+\mathrm{sin}\:\mathrm{6}\right)\left(\mathrm{sin}\:\mathrm{24}−\mathrm{sin}\:\mathrm{6}\right)\left(\mathrm{sin}\:\mathrm{42}+\mathrm{sin}\:\mathrm{12}\right)\left(\mathrm{sin}\:\mathrm{42}−\mathrm{sin}\:\mathrm{12}\right) \\ $$$$=\left(\mathrm{2}\:\mathrm{sin}\:\mathrm{15}\:\mathrm{cos}\:\mathrm{9}\right)\left(\mathrm{2}\:\mathrm{cos15}\:\mathrm{sin}\:\mathrm{9}\right)\left(\mathrm{2}\:\mathrm{sin}\:\mathrm{27}\:\mathrm{cos}\:\mathrm{15}\right)\left(\mathrm{2}\:\mathrm{cos}\:\mathrm{27}\:\mathrm{sin}\:\mathrm{15}\right) \\ $$$$=\left(\mathrm{2}\:\mathrm{sin}\:\mathrm{15}\:\mathrm{cos}\:\mathrm{15}\right)\left(\mathrm{2}\:\mathrm{sin}\:\mathrm{9}\:\mathrm{cos}\:\mathrm{9}\right)\left(\mathrm{2}\:\mathrm{sin}\:\mathrm{15}\:\mathrm{cos}\:\mathrm{15}\right)\left(\mathrm{2}\:\mathrm{sin}\:\mathrm{27}\:\mathrm{cos}\:\mathrm{27}\right) \\ $$$$=\mathrm{sin}\:\mathrm{30}\:\mathrm{sin}\:\mathrm{18}\:\mathrm{sin}\:\mathrm{30}\:\mathrm{sin}\:\mathrm{54} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\:\mathrm{sin}\:\mathrm{18}\:\mathrm{sin}\:\mathrm{54}\:×\frac{\mathrm{cos}\:\mathrm{18}}{\mathrm{cos}\:\mathrm{18}} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}×\frac{\mathrm{sin}\:\mathrm{18}\:\mathrm{cos}\:\mathrm{18}\:\mathrm{sin}\:\mathrm{54}}{\mathrm{cos}\:\mathrm{18}} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}×\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}×\frac{\mathrm{sin}\:\mathrm{36}\:\mathrm{sin}\:\mathrm{54}}{\mathrm{cos}\:\mathrm{18}} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}}×\frac{\left(−\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\:\mathrm{cos}\:\mathrm{90}\:+\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\:\mathrm{cos}\:\mathrm{18}\right)}{\mathrm{cos}\:\mathrm{18}} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}}×\frac{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{cos}\:\mathrm{18}}{\mathrm{cos}\:\mathrm{18}}\:=\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}}×\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{16}} \\ $$

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