Question Number 139478 by mnjuly1970 last updated on 27/Apr/21
![......... nice ... ... ... calculus........ Φ:=∫_0 ^( 1) ((ln(((1+x)/2)))/(x^2 −1))dx=(π^2 /(24)) NOTE :: li_2 (z)+li_2 (1−z)=(π^2 /6)−ln(z)ln(1−z) Hence :: li_2 ((1/2))=(π^2 /(12))−(1/2)ln^2 (2) Φ:=^(⟨ ((1+x)/2)=y ⟩) 2∫_(1/2) ^( 1) ((ln(y))/(4y^2 −4y))dy :=(1/2)∫_(1/2) ^( 1) ((ln(y))/(y(y−1)))dy=(1/2) ∫_(1/2) ^( 1) {((ln(y))/(y−1))−((ln(y))/y)}dy :=−(1/2) [(1/2) ln^2 (y)]_((1 )/2) ^1 +(1/2){li_2 (1)−li_2 ((1/2))} :=(1/4)ln^2 (2)+(π^2 /(12))+(1/2)(−(π^2 /(12))−(1/2)ln^2 (2)) Φ:=(π^2 /(24))](https://www.tinkutara.com/question/Q139478.png)
$$\:\:\:\:\:\:\:\: \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:………\:{nice}\:…\:…\:…\:{calculus}…….. \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\Phi:=\int_{\mathrm{0}} ^{\:\mathrm{1}} \frac{{ln}\left(\frac{\mathrm{1}+{x}}{\mathrm{2}}\right)}{{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}{dx}=\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{24}} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:{NOTE}\:::\:{li}_{\mathrm{2}} \left({z}\right)+{li}_{\mathrm{2}} \left(\mathrm{1}−{z}\right)=\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{6}}−{ln}\left({z}\right){ln}\left(\mathrm{1}−{z}\right) \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:{Hence}\:::\:\:{li}_{\mathrm{2}} \left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)=\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{12}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{ln}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{2}\right) \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\Phi:\overset{\langle\:\frac{\mathrm{1}+{x}}{\mathrm{2}}={y}\:\rangle} {=}\:\mathrm{2}\int_{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}} ^{\:\mathrm{1}} \frac{{ln}\left({y}\right)}{\mathrm{4}{y}^{\mathrm{2}} −\mathrm{4}{y}}{dy} \\ $$$$\:\:\:\::=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int_{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}} ^{\:\mathrm{1}} \frac{{ln}\left({y}\right)}{{y}\left({y}−\mathrm{1}\right)}{dy}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\:\int_{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}} ^{\:\mathrm{1}} \left\{\frac{{ln}\left({y}\right)}{{y}−\mathrm{1}}−\frac{{ln}\left({y}\right)}{{y}}\right\}{dy} \\ $$$$\:\:\:\:\::=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\:\left[\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\:{ln}^{\mathrm{2}} \left({y}\right)\right]_{\frac{\mathrm{1}\:}{\mathrm{2}}} ^{\mathrm{1}} +\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left\{{li}_{\mathrm{2}} \left(\mathrm{1}\right)−{li}_{\mathrm{2}} \left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)\right\} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\::=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}{ln}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{2}\right)+\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{12}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left(−\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{12}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{ln}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{2}\right)\right) \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\Phi:=\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{24}} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: \\ $$