Menu Close

i-0-5-1-cotan-20-i-8-

Tinku Tara 0 Comments
Pin




Question Number 139555 by snipers237 last updated on 28/Apr/21
Π_(i=0) ^5 (1−cotan(20+i)) =^? 8
$$\:\:\underset{{i}=\mathrm{0}} {\overset{\mathrm{5}} {\prod}}\left(\mathrm{1}−{cotan}\left(\mathrm{20}+{i}\right)\right)\:\:\overset{?} {=}\:\mathrm{8} \\ $$
Answered by mr W last updated on 28/Apr/21
(1−(1/(tan 20°)))(1−(1/(tan 25°))) =1−(1/(tan 20°))−(1/(tan 25°))+(1/(tan 20°tan 25°)) =1−((tan 20°+tan 25°)/(tan 20°tan 25°))+(1/(tan 20°tan 25°)) =1−((tan 20°+tan 25°)/(tan 20°tan 25°))×((1−tan 20°tan 25°)/(1−tan 20°tan 25°))+(1/(tan 20°tan 25°)) =1−((tan 45°(1−tan 20°tan 25°))/(tan 20°tan 25°))+(1/(tan 20°tan 25°)) =1−((1−tan 20°tan 25°)/(tan 20°tan 25°))+(1/(tan 20°tan 25°)) =1−(1/(tan 20°tan 25°))+1+(1/(tan 20°tan 25°)) =2 similarly (1−(1/(tan 21°)))(1−(1/(tan 24°)))=2 (1−(1/(tan 22°)))(1−(1/(tan 23°)))=2 ⇒Π_(i=0) ^5 (1−cot (20+i)) =(1−(1/(tan 20°)))(1−(1/(tan 21°)))(1−(1/(tan 22°)))(1−(1/(tan 23°)))(1−(1/(tan 24°)))(1−(1/(tan 25°))) =2×2×2 =8
$$\left(\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{tan}\:\mathrm{20}°}\right)\left(\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{tan}\:\mathrm{25}°}\right) \\ $$$$=\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{tan}\:\mathrm{20}°}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{tan}\:\mathrm{25}°}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{tan}\:\mathrm{20}°\mathrm{tan}\:\mathrm{25}°} \\ $$$$=\mathrm{1}−\frac{\mathrm{tan}\:\mathrm{20}°+\mathrm{tan}\:\mathrm{25}°}{\mathrm{tan}\:\mathrm{20}°\mathrm{tan}\:\mathrm{25}°}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{tan}\:\mathrm{20}°\mathrm{tan}\:\mathrm{25}°} \\ $$$$=\mathrm{1}−\frac{\mathrm{tan}\:\mathrm{20}°+\mathrm{tan}\:\mathrm{25}°}{\mathrm{tan}\:\mathrm{20}°\mathrm{tan}\:\mathrm{25}°}×\frac{\mathrm{1}−\mathrm{tan}\:\mathrm{20}°\mathrm{tan}\:\mathrm{25}°}{\mathrm{1}−\mathrm{tan}\:\mathrm{20}°\mathrm{tan}\:\mathrm{25}°}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{tan}\:\mathrm{20}°\mathrm{tan}\:\mathrm{25}°} \\ $$$$=\mathrm{1}−\frac{\mathrm{tan}\:\mathrm{45}°\left(\mathrm{1}−\mathrm{tan}\:\mathrm{20}°\mathrm{tan}\:\mathrm{25}°\right)}{\mathrm{tan}\:\mathrm{20}°\mathrm{tan}\:\mathrm{25}°}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{tan}\:\mathrm{20}°\mathrm{tan}\:\mathrm{25}°} \\ $$$$=\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}−\mathrm{tan}\:\mathrm{20}°\mathrm{tan}\:\mathrm{25}°}{\mathrm{tan}\:\mathrm{20}°\mathrm{tan}\:\mathrm{25}°}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{tan}\:\mathrm{20}°\mathrm{tan}\:\mathrm{25}°} \\ $$$$=\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{tan}\:\mathrm{20}°\mathrm{tan}\:\mathrm{25}°}+\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{tan}\:\mathrm{20}°\mathrm{tan}\:\mathrm{25}°} \\ $$$$=\mathrm{2} \\ $$$${similarly} \\ $$$$\left(\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{tan}\:\mathrm{21}°}\right)\left(\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{tan}\:\mathrm{24}°}\right)=\mathrm{2} \\ $$$$\left(\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{tan}\:\mathrm{22}°}\right)\left(\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{tan}\:\mathrm{23}°}\right)=\mathrm{2} \\ $$$$\Rightarrow\underset{{i}=\mathrm{0}} {\overset{\mathrm{5}} {\prod}}\left(\mathrm{1}−\mathrm{cot}\:\left(\mathrm{20}+{i}\right)\right) \\ $$$$=\left(\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{tan}\:\mathrm{20}°}\right)\left(\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{tan}\:\mathrm{21}°}\right)\left(\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{tan}\:\mathrm{22}°}\right)\left(\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{tan}\:\mathrm{23}°}\right)\left(\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{tan}\:\mathrm{24}°}\right)\left(\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{tan}\:\mathrm{25}°}\right) \\ $$$$=\mathrm{2}×\mathrm{2}×\mathrm{2} \\ $$$$=\mathrm{8} \\ $$

Pin

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *