Question Number 140002 by mohammad17 last updated on 03/May/21
Answered by MJS_new last updated on 03/May/21
$$\int\frac{{x}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}}\mathrm{ln}\:\frac{\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{1}−{x}^{\mathrm{2}} }}{{x}}\:{dx}= \\ $$$$\:\:\:\:\:\left[{t}=\frac{\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{1}−{x}^{\mathrm{2}} }}{{x}}\:\rightarrow\:{dx}=−\frac{{x}^{\mathrm{2}} \sqrt{\mathrm{1}−{x}^{\mathrm{2}} }}{\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{1}−{x}^{\mathrm{2}} }}{dt}\right] \\ $$$$=−\mathrm{4}\int\frac{{t}^{\mathrm{2}} \left({t}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)}{\left({t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)^{\mathrm{4}} }\mathrm{ln}\:{t}\:{dt}= \\ $$$$\:\:\:\:\:\left[\mathrm{by}\:\mathrm{parts}\right] \\ $$$$=\frac{\mathrm{4}{t}^{\mathrm{3}} }{\mathrm{3}\left({t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)^{\mathrm{3}} }\mathrm{ln}\:{t}\:−\frac{\mathrm{4}}{\mathrm{3}}\int\frac{{t}^{\mathrm{2}} }{\left({t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)^{\mathrm{3}} }{dt}= \\ $$$$ \\ $$$$\int\frac{{t}^{\mathrm{2}} }{\left({t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)^{\mathrm{3}} }{dt}= \\ $$$$\:\:\:\:\:\left[\mathrm{Ostrogradski}'\mathrm{s}\:\mathrm{Method}\right] \\ $$$$=\frac{{t}\left({t}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)}{\mathrm{8}\left({t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}}\int\frac{{dt}}{{t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}=\frac{{t}\left({t}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)}{\mathrm{8}\left({t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}}\mathrm{arctan}\:{t} \\ $$$$ \\ $$$$=−\frac{{t}\left({t}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)}{\mathrm{6}\left({t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }+\frac{\mathrm{4}{t}^{\mathrm{3}} }{\mathrm{3}\left({t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)^{\mathrm{3}} }\mathrm{ln}\:{t}\:−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{6}}\mathrm{arctan}\:{t}\:= \\ $$$$=−\frac{{x}\sqrt{\mathrm{1}−{x}^{\mathrm{2}} }}{\mathrm{12}}+\frac{{x}^{\mathrm{3}} }{\mathrm{6}}\mathrm{ln}\:\frac{\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{1}−{x}^{\mathrm{2}} }}{{x}}\:−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{6}}\mathrm{arctan}\:\frac{\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{1}−{x}^{\mathrm{2}} }}{{x}}\:+{C} \\ $$$$\Rightarrow\:\mathrm{answer}\:\mathrm{is}\:\frac{\pi}{\mathrm{24}} \\ $$
Commented by mohammad17 last updated on 03/May/21
$${thank}\:{you}\:{sir} \\ $$