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prove-1-2-3-4-5-6-2n-1-2n-1-3n-1-

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Question Number 9004 by mrW last updated on 12/Nov/16
prove (1/2)∙(3/4)∙(5/6)∙∙∙∙∙((2n−1)/(2n))≤(1/( (√(3n+1))))
$$\mathrm{prove} \\ $$$$\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\centerdot\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{4}}\centerdot\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{6}}\centerdot\centerdot\centerdot\centerdot\centerdot\frac{\mathrm{2n}−\mathrm{1}}{\mathrm{2n}}\leqslant\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{3n}+\mathrm{1}}} \\ $$
Answered by mrW last updated on 15/Nov/16
Using mathematical induction prove P(n)=Π_(k=1) ^n ((2k−1)/(2k))≤(1/( (√(3n+1)))) for n=1 P(1)=(1/2)≤^! (1/( (√(3∙1+1))))=(1/( (√4)))=(1/2) it′s true. suppose it′s true for n, i.e. P(n)=Π_(k=1) ^n ((2k−1)/(2k))≤(1/( (√(3n+1)))) P(n+1)=((2(n+1)−1)/(2(n+1)))P(n) =((2n+1)/(2n+2))P(n)≤((2n+1)/(2n+2))∙(1/( (√(3n+1)))) =((2n+1)/(2n+2))∙((√(3n+4))/( (√(3n+1))))∙(1/( (√(3(n+1)+1)))) =((√((2n+1)^2 ∙(3n+4)))/( (√((2n+2)^2 ∙(3n+1)))))∙(1/( (√(3(n+1)+1)))) =((√((4n^2 +4n+1)∙(3n+4)))/( (√((4n^2 +8n+4)∙(3n+1)))))∙(1/( (√(3(n+1)+1)))) =((√(12n^3 +28n^2 +19n+4))/( (√(12n^3 +28n^2 +20n+4))))∙(1/( (√(3(n+1)+1)))) ≤(1/( (√(3(n+1)+1)))) so it′s true for all n≥1
$$\mathrm{Using}\:\mathrm{mathematical}\:\mathrm{induction} \\ $$$$\mathrm{prove}\:{P}\left(\mathrm{n}\right)=\underset{\mathrm{k}=\mathrm{1}} {\overset{\mathrm{n}} {\prod}}\frac{\mathrm{2k}−\mathrm{1}}{\mathrm{2k}}\leqslant\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{3n}+\mathrm{1}}} \\ $$$$\mathrm{for}\:\mathrm{n}=\mathrm{1} \\ $$$${P}\left(\mathrm{1}\right)=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\overset{!} {\leqslant}\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{3}\centerdot\mathrm{1}+\mathrm{1}}}=\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{4}}}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{it}'\mathrm{s}\:\mathrm{true}. \\ $$$$\mathrm{suppose}\:\mathrm{it}'\mathrm{s}\:\mathrm{true}\:\mathrm{for}\:\mathrm{n},\:\mathrm{i}.\mathrm{e}. \\ $$$${P}\left(\mathrm{n}\right)=\underset{\mathrm{k}=\mathrm{1}} {\overset{\mathrm{n}} {\prod}}\frac{\mathrm{2k}−\mathrm{1}}{\mathrm{2k}}\leqslant\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{3n}+\mathrm{1}}} \\ $$$${P}\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)=\frac{\mathrm{2}\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)−\mathrm{1}}{\mathrm{2}\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)}{P}\left(\mathrm{n}\right) \\ $$$$=\frac{\mathrm{2n}+\mathrm{1}}{\mathrm{2n}+\mathrm{2}}{P}\left(\mathrm{n}\right)\leqslant\frac{\mathrm{2n}+\mathrm{1}}{\mathrm{2n}+\mathrm{2}}\centerdot\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{3n}+\mathrm{1}}} \\ $$$$=\frac{\mathrm{2n}+\mathrm{1}}{\mathrm{2n}+\mathrm{2}}\centerdot\frac{\sqrt{\mathrm{3n}+\mathrm{4}}}{\:\sqrt{\mathrm{3n}+\mathrm{1}}}\centerdot\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{3}\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)+\mathrm{1}}} \\ $$$$=\frac{\sqrt{\left(\mathrm{2n}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} \centerdot\left(\mathrm{3n}+\mathrm{4}\right)}}{\:\sqrt{\left(\mathrm{2n}+\mathrm{2}\right)^{\mathrm{2}} \centerdot\left(\mathrm{3n}+\mathrm{1}\right)}}\centerdot\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{3}\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)+\mathrm{1}}} \\ $$$$=\frac{\sqrt{\left(\mathrm{4n}^{\mathrm{2}} +\mathrm{4n}+\mathrm{1}\right)\centerdot\left(\mathrm{3n}+\mathrm{4}\right)}}{\:\sqrt{\left(\mathrm{4n}^{\mathrm{2}} +\mathrm{8n}+\mathrm{4}\right)\centerdot\left(\mathrm{3n}+\mathrm{1}\right)}}\centerdot\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{3}\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)+\mathrm{1}}} \\ $$$$=\frac{\sqrt{\mathrm{12n}^{\mathrm{3}} +\mathrm{28n}^{\mathrm{2}} +\mathrm{19n}+\mathrm{4}}}{\:\sqrt{\mathrm{12n}^{\mathrm{3}} +\mathrm{28n}^{\mathrm{2}} +\mathrm{20n}+\mathrm{4}}}\centerdot\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{3}\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)+\mathrm{1}}} \\ $$$$\leqslant\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{3}\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)+\mathrm{1}}} \\ $$$$\mathrm{so}\:\mathrm{it}'\mathrm{s}\:\mathrm{true}\:\mathrm{for}\:\mathrm{all}\:\mathrm{n}\geqslant\mathrm{1} \\ $$

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