Question Number 9265 by j.masanja06@gmail.com last updated on 26/Nov/16
$$\mathrm{find}\:\mathrm{the}\:\mathrm{value}\:\mathrm{of}\:\:\:\:\:\:\:\:\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{2}} ^{\mathrm{5}} \mathrm{k}^{\mathrm{2}} \\ $$
Answered by mrW last updated on 27/Nov/16
$$\mathrm{generally}\:\mathrm{for}\:\mathrm{1}\leqslant\mathrm{m}\leqslant\mathrm{n} \\ $$$$\underset{\mathrm{k}=\mathrm{1}} {\overset{\mathrm{n}} {\sum}}\mathrm{k}^{\mathrm{2}} =\frac{\mathrm{n}\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{2n}+\mathrm{1}\right)}{\mathrm{6}} \\ $$$$\underset{\mathrm{k}=\mathrm{1}} {\overset{\mathrm{m}−\mathrm{1}} {\sum}}\mathrm{k}^{\mathrm{2}} =\frac{\left(\mathrm{m}−\mathrm{1}\right)\mathrm{m}\left(\mathrm{2m}−\mathrm{1}\right)}{\mathrm{6}} \\ $$$$\underset{\mathrm{k}=\mathrm{m}} {\overset{\mathrm{n}} {\sum}}\mathrm{k}^{\mathrm{2}} =\underset{\mathrm{k}=\mathrm{1}} {\overset{\mathrm{n}} {\sum}}\mathrm{k}^{\mathrm{2}} −\underset{\mathrm{k}=\mathrm{1}} {\overset{\mathrm{m}−\mathrm{1}} {\sum}}\mathrm{k}^{\mathrm{2}} \\ $$$$\underset{\mathrm{k}=\mathrm{m}} {\overset{\mathrm{n}} {\sum}}\mathrm{k}^{\mathrm{2}} =\frac{\mathrm{n}\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{2n}+\mathrm{1}\right)−\left(\mathrm{m}−\mathrm{1}\right)\mathrm{m}\left(\mathrm{2m}−\mathrm{1}\right)}{\mathrm{6}} \\ $$$$ \\ $$$$\underset{\mathrm{k}=\mathrm{2}} {\overset{\mathrm{5}} {\sum}}\mathrm{k}^{\mathrm{2}} =\frac{\mathrm{5}\left(\mathrm{5}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{2}×\mathrm{5}+\mathrm{1}\right)−\left(\mathrm{2}−\mathrm{1}\right)\mathrm{2}\left(\mathrm{2}×\mathrm{2}−\mathrm{1}\right)}{\mathrm{6}} \\ $$$$=\frac{\mathrm{5}×\mathrm{6}×\mathrm{11}−\mathrm{1}×\mathrm{2}×\mathrm{3}}{\mathrm{6}}=\frac{\mathrm{330}−\mathrm{6}}{\mathrm{6}}=\mathrm{54} \\ $$$$\mathrm{or} \\ $$$$\underset{\mathrm{k}=\mathrm{2}} {\overset{\mathrm{5}} {\sum}}\mathrm{k}^{\mathrm{2}} =\mathrm{2}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3}^{\mathrm{2}} +\mathrm{4}^{\mathrm{2}} +\mathrm{5}^{\mathrm{2}} =\mathrm{4}+\mathrm{9}+\mathrm{16}+\mathrm{25}=\mathrm{54} \\ $$