Question Number 74861 by aliesam last updated on 02/Dec/19
Answered by mind is power last updated on 02/Dec/19
![(ln^2 (x))^(1/2) =−ln(x) (ln(x^2 ))^((−1)/2) =(1/( (√2))).((1/(ln(x))))^(1/2) (ln^2 (x))^(1/2) .(ln(x^2 ))^(−(1/2)) +(√(ln(x))) =−((√(ln(x)))/( (√2)))+(√(ln(x)))=(((√2)−1)/( (√2)))(√(ln(x))) ((ln(x)+1)/( (√(2ln(x)))))−(√(ln((√x))))) =((ln(x)+1)/( (√(2ln(x)))))−(√((((ln(x))/2)))) =((√(ln(x)))/( (√2)))+(1/( (√(2ln(x)))))−(√((ln(x))/2)) =(√((ln(x))/2))+(1/( (√(2ln(x)))))−(√((ln(x))/2))=(1/( (√(2ln(x))))) (((ln^2 (x)(ln(x^2 ))^(−(1/2)) +(√(ln(x))))/(((ln(x)+1)/( (√(2ln(x)))))−(√(ln((√x))))))))=(((√2)−1)/( (√2)))ln(x).(1/(1/( (√(2ln(x))))))=((√2)−1)ln(x) ∫_0 ^1 ((√2)−1)ln(x)dx=((√2)−1)∫_0 ^1 ln(x)dx =((√2)−1)[xln(x)−x]_0 ^1 =−((√2)−1)](https://www.tinkutara.com/question/Q74864.png)
$$\left(\mathrm{ln}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{x}\right)\right)^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}} =−\mathrm{ln}\left(\mathrm{x}\right) \\ $$$$\left(\mathrm{ln}\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \right)\right)^{\frac{−\mathrm{1}}{\mathrm{2}}} =\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{2}}}.\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{ln}\left(\mathrm{x}\right)}\right)^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}} \\ $$$$\left(\mathrm{ln}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{x}\right)\right)^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}} .\left(\mathrm{ln}\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \right)\right)^{−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}} +\sqrt{\mathrm{ln}\left(\mathrm{x}\right)} \\ $$$$=−\frac{\sqrt{\mathrm{ln}\left(\mathrm{x}\right)}}{\:\sqrt{\mathrm{2}}}+\sqrt{\mathrm{ln}\left(\mathrm{x}\right)}=\frac{\sqrt{\mathrm{2}}−\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{2}}}\sqrt{\mathrm{ln}\left(\mathrm{x}\right)} \\ $$$$\frac{\mathrm{ln}\left(\mathrm{x}\right)+\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{2ln}\left(\mathrm{x}\right)}}−\sqrt{\left.\mathrm{ln}\left(\sqrt{\mathrm{x}}\right)\right)} \\ $$$$=\frac{\mathrm{ln}\left(\mathrm{x}\right)+\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{2ln}\left(\mathrm{x}\right)}}−\sqrt{\left(\frac{\mathrm{ln}\left(\mathrm{x}\right)}{\mathrm{2}}\right)} \\ $$$$=\frac{\sqrt{\mathrm{ln}\left(\mathrm{x}\right)}}{\:\sqrt{\mathrm{2}}}+\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{2ln}\left(\mathrm{x}\right)}}−\sqrt{\frac{\mathrm{ln}\left(\mathrm{x}\right)}{\mathrm{2}}} \\ $$$$=\sqrt{\frac{\mathrm{ln}\left(\mathrm{x}\right)}{\mathrm{2}}}+\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{2ln}\left(\mathrm{x}\right)}}−\sqrt{\frac{\mathrm{ln}\left(\mathrm{x}\right)}{\mathrm{2}}}=\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{2ln}\left(\mathrm{x}\right)}} \\ $$$$\left(\frac{\mathrm{ln}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{x}\right)\left(\mathrm{ln}\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \right)\right)^{−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}} +\sqrt{\mathrm{ln}\left(\mathrm{x}\right)}}{\frac{\mathrm{ln}\left(\mathrm{x}\right)+\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{2ln}\left(\mathrm{x}\right)}}−\sqrt{\left.\mathrm{ln}\left(\sqrt{\mathrm{x}}\right)\right)}}\right)=\frac{\sqrt{\mathrm{2}}−\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{2}}}\mathrm{ln}\left(\mathrm{x}\right).\frac{\mathrm{1}}{\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{2ln}\left(\mathrm{x}\right)}}}=\left(\sqrt{\mathrm{2}}−\mathrm{1}\right)\mathrm{ln}\left(\mathrm{x}\right) \\ $$$$\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \left(\sqrt{\mathrm{2}}−\mathrm{1}\right)\mathrm{ln}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{dx}=\left(\sqrt{\mathrm{2}}−\mathrm{1}\right)\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \mathrm{ln}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{dx} \\ $$$$=\left(\sqrt{\mathrm{2}}−\mathrm{1}\right)\left[\mathrm{xln}\left(\mathrm{x}\right)−\mathrm{x}\right]_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} =−\left(\sqrt{\mathrm{2}}−\mathrm{1}\right) \\ $$