Question Number 75013 by necxxx last updated on 05/Dec/19
$${The}\:{largest}\:{interval}\:{for}\:{which} \\ $$$${x}^{\mathrm{12}} −{x}^{\mathrm{9}} +{x}^{\mathrm{4}} −{x}+\mathrm{1}>\mathrm{0}\:{is} \\ $$$$\left({a}\right)−\mathrm{4}<{x}\leqslant\mathrm{0} \\ $$$$\left({b}\right)\mathrm{0}<{x}<\mathrm{1} \\ $$$$\left({c}\right)−\mathrm{100}<{x}<\mathrm{100} \\ $$$$\left({d}\right)−\infty<{x}<\infty \\ $$
Answered by mind is power last updated on 05/Dec/19
$$\mathrm{let}\:\mathrm{p}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{x}^{\mathrm{12}} −\mathrm{x}^{\mathrm{9}} +\mathrm{x}^{\mathrm{4}} −\mathrm{x}+\mathrm{1} \\ $$$$\mathrm{if}\:\mathrm{x}<\mathrm{0} \\ $$$$−\mathrm{x}^{\mathrm{9}} >\mathrm{0},−\mathrm{x}>\mathrm{0}\Rightarrow\mathrm{p}\left(\mathrm{x}\right)\geqslant\mathrm{1}\Rightarrow\mathrm{p}\left(\mathrm{x}\right)>\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{x}>\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{x}^{\mathrm{12}} −\mathrm{x}^{\mathrm{9}} =\mathrm{x}^{\mathrm{9}} \left(\mathrm{x}^{\mathrm{3}} −\mathrm{1}\right) \\ $$$$\mathrm{x}^{\mathrm{4}} −\mathrm{x}=\mathrm{x}\left(\mathrm{x}^{\mathrm{3}} −\mathrm{1}\right) \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{p}\left(\mathrm{x}\right)=\left(\mathrm{x}^{\mathrm{3}} −\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{x}+\mathrm{x}^{\mathrm{9}} \right)+\mathrm{1} \\ $$$$\mathrm{p}\left(\mathrm{x}\right)>\mathrm{0},\mathrm{for}\:\mathrm{x}>\mathrm{1} \\ $$$$\mathrm{if}\:\mathrm{x}\in\left[\mathrm{0},\mathrm{1}\left[\right.\right. \\ $$$$\mathrm{1}−\mathrm{x}>\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{x}^{\mathrm{4}} −\mathrm{x}^{\mathrm{9}} \leqslant\mathrm{x}^{\mathrm{4}} −\mathrm{x}^{\mathrm{5}} =\mathrm{x}^{\mathrm{4}} \left(\mathrm{1}−\mathrm{x}\right)>\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{p}\left(\mathrm{x}\right)>\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow\forall\mathrm{x}\in\mathbb{R}\:\:\mathrm{p}\left(\mathrm{x}\right)>\mathrm{0} \\ $$