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Prove-that-if-f-is-a-function-R-R-and-there-exist-x-0-gt-0-such-as-L-f-x-0-exist-then-lim-t-f-t-e-x-0-t-0-and-x-gt-x-0-L-f-x-exist-L-f-is-the-Laplace-transformed-function

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Question Number 75066 by ~blr237~ last updated on 06/Dec/19
Prove that if f is a function R→R and there exist x_0 >0 , such as L(f)(x_0 ) exist then lim_(t→∞) f(t)e^(−x_0 t) =0 and ∀ x>x_0 L(f)(x) exist. L(f) is the Laplace transformed function
$$\mathrm{Prove}\:\:\mathrm{that}\:\mathrm{if}\:\:\mathrm{f}\:\mathrm{is}\:\mathrm{a}\:\mathrm{function}\:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\: \\ $$$$\mathrm{and}\:\:\mathrm{there}\:\mathrm{exist}\:\mathrm{x}_{\mathrm{0}} >\mathrm{0}\:\:,\:\mathrm{such}\:\mathrm{as}\:\:\mathrm{L}\left(\mathrm{f}\right)\left(\mathrm{x}_{\mathrm{0}} \right)\:\mathrm{exist}\: \\ $$$$\mathrm{then}\:\underset{\mathrm{t}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}\:\mathrm{f}\left(\mathrm{t}\right)\mathrm{e}^{−\mathrm{x}_{\mathrm{0}} \mathrm{t}} =\mathrm{0}\:\mathrm{and}\:\forall\:\mathrm{x}>\mathrm{x}_{\mathrm{0}} \:\:\mathrm{L}\left(\mathrm{f}\right)\left(\mathrm{x}\right)\:\mathrm{exist}. \\ $$$$\mathrm{L}\left(\mathrm{f}\right)\:\mathrm{is}\:\mathrm{the}\:\mathrm{Laplace}\:\mathrm{transformed}\:\mathrm{function} \\ $$
Answered by mind is power last updated on 07/Dec/19
L(f)(s)=∫_0 ^(+∞) e^(−st) f(t)dt L(f)(x_0 )=∫_0 ^(+∞) ∣e^(−x_0 t) f(t)∣dt<∞ ⇒e^(−x_0 t) f(t) is integrabl in+∞ ⇒e^(−x_0 t) f(t)→0 by cv for x>x_0 x=x_0 +n ,n∈R_+ L(f)(x)=∫_0 ^(+∞) e^(−(x_0 +n)t) f(t)dt =∫_0 ^(+∞) e^(−x_0 t) f(t).e^(−nt) dt since L(f)(x_0 ) exist⇒ lim f(t)e^(−x_0 t) =o⇒∃A∈R ∀x>A ∣f(t)e^(−x_0 t) ∣<1⇒ ∣f(t)e^(−x_0 t) .e^(−nt) ∣<e^(−nt) so ∣f(t)e^(−(x_0 +n)t) ∣<e^(−nt) t→e^(−nt) is integral n>0 ∀t>A so ∫_0 ^(+∞) ∣f(t)e^(−(x_0 +n)t) ∣dt exist⇒∫_0 ^(+∞) f(t)e^(−(x_0 +n)t ) dt exist
$$\mathrm{L}\left(\mathrm{f}\right)\left(\mathrm{s}\right)=\int_{\mathrm{0}} ^{+\infty} \mathrm{e}^{−\mathrm{st}} \mathrm{f}\left(\mathrm{t}\right)\mathrm{dt} \\ $$$$\mathrm{L}\left(\mathrm{f}\right)\left(\mathrm{x}_{\mathrm{0}} \right)=\int_{\mathrm{0}} ^{+\infty} \mid\mathrm{e}^{−\mathrm{x}_{\mathrm{0}} \mathrm{t}} \mathrm{f}\left(\mathrm{t}\right)\mid\mathrm{dt}<\infty \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{e}^{−\mathrm{x}_{\mathrm{0}} \mathrm{t}} \mathrm{f}\left(\mathrm{t}\right)\:\mathrm{is}\:\mathrm{integrabl}\:\:\:\mathrm{in}+\infty \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{e}^{−\mathrm{x}_{\mathrm{0}} \mathrm{t}} \mathrm{f}\left(\mathrm{t}\right)\rightarrow\mathrm{0}\:\mathrm{by}\:\mathrm{cv}\: \\ $$$$\mathrm{for}\:\mathrm{x}>\mathrm{x}_{\mathrm{0}} \\ $$$$\mathrm{x}=\mathrm{x}_{\mathrm{0}} +\mathrm{n}\:,\mathrm{n}\in\mathbb{R}_{+} \\ $$$$\mathrm{L}\left(\mathrm{f}\right)\left(\mathrm{x}\right)=\int_{\mathrm{0}} ^{+\infty} \mathrm{e}^{−\left(\mathrm{x}_{\mathrm{0}} +\mathrm{n}\right)\mathrm{t}} \mathrm{f}\left(\mathrm{t}\right)\mathrm{dt} \\ $$$$=\int_{\mathrm{0}} ^{+\infty} \mathrm{e}^{−\mathrm{x}_{\mathrm{0}} \mathrm{t}} \mathrm{f}\left(\mathrm{t}\right).\mathrm{e}^{−\mathrm{nt}} \mathrm{dt} \\ $$$$\mathrm{since}\:\mathrm{L}\left(\mathrm{f}\right)\left(\mathrm{x}_{\mathrm{0}} \right)\:\mathrm{exist}\Rightarrow\:\mathrm{lim}\:\mathrm{f}\left(\mathrm{t}\right)\mathrm{e}^{−\mathrm{x}_{\mathrm{0}} \mathrm{t}} =\mathrm{o}\Rightarrow\exists\mathrm{A}\in\mathbb{R}\:\:\forall\mathrm{x}>\mathrm{A} \\ $$$$\mid\mathrm{f}\left(\mathrm{t}\right)\mathrm{e}^{−\mathrm{x}_{\mathrm{0}} \mathrm{t}} \mid<\mathrm{1}\Rightarrow\:\:\:\:\:\mid\mathrm{f}\left(\mathrm{t}\right)\mathrm{e}^{−\mathrm{x}_{\mathrm{0}} \mathrm{t}} .\mathrm{e}^{−\mathrm{nt}} \mid<\mathrm{e}^{−\mathrm{nt}} \\ $$$$\mathrm{so}\:\mid\mathrm{f}\left(\mathrm{t}\right)\mathrm{e}^{−\left(\mathrm{x}_{\mathrm{0}} +\mathrm{n}\right)\mathrm{t}} \mid<\mathrm{e}^{−\mathrm{nt}} \:\:\:\mathrm{t}\rightarrow\mathrm{e}^{−\mathrm{nt}} \:\mathrm{is}\:\mathrm{integral}\:\mathrm{n}>\mathrm{0} \\ $$$$\forall\mathrm{t}>\mathrm{A} \\ $$$$\mathrm{so}\:\int_{\mathrm{0}} ^{+\infty} \mid\mathrm{f}\left(\mathrm{t}\right)\mathrm{e}^{−\left(\mathrm{x}_{\mathrm{0}} +\mathrm{n}\right)\mathrm{t}} \mid\mathrm{dt}\:\mathrm{exist}\Rightarrow\int_{\mathrm{0}} ^{+\infty} \mathrm{f}\left(\mathrm{t}\right)\mathrm{e}^{−\left(\mathrm{x}_{\mathrm{0}} +\mathrm{n}\right)\mathrm{t}\:} \mathrm{dt}\:\mathrm{exist} \\ $$$$ \\ $$
Commented by ~blr237~ last updated on 06/Dec/19
sir L(f)(x_0 ) exist just mean that ∫_0 ^∞ f(t)e^(−x_0 t) dt <+∞ that condition you used is just sufficient cause all if f∈ L^1 (R_+ )(∫_0 ^∞ ∣f(t)∣dt<+∞) then L(f)(s) exist for all s>0
$$\mathrm{sir}\:\:\mathrm{L}\left(\mathrm{f}\right)\left(\mathrm{x}_{\mathrm{0}} \right)\:\mathrm{exist}\:\:\mathrm{just}\:\mathrm{mean}\:\mathrm{that}\:\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \mathrm{f}\left(\mathrm{t}\right)\mathrm{e}^{−\mathrm{x}_{\mathrm{0}} \mathrm{t}} \mathrm{dt}\:<+\infty\:\: \\ $$$$\mathrm{that}\:\mathrm{condition}\:\mathrm{you}\:\mathrm{used}\:\mathrm{is}\:\mathrm{just}\:\mathrm{sufficient} \\ $$$$\mathrm{cause}\:\mathrm{all}\:\:\mathrm{if}\:\:\mathrm{f}\in\:\mathrm{L}^{\mathrm{1}} \left(\mathbb{R}_{+} \right)\left(\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \mid\mathrm{f}\left(\mathrm{t}\right)\mid\mathrm{dt}<+\infty\right)\:\:\mathrm{then}\:\mathrm{L}\left(\mathrm{f}\right)\left(\mathrm{s}\right)\:\mathrm{exist}\:\mathrm{for}\:\mathrm{all}\:\mathrm{s}>\mathrm{0} \\ $$$$ \\ $$
Commented by mind is power last updated on 07/Dec/19
yes simples cv not absulute
$$\mathrm{yes}\:\:\mathrm{simples}\:\mathrm{cv}\:\mathrm{not}\:\mathrm{absulute} \\ $$

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